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Etude metrique des courbes planes

c Christophe Bertault - MPSI Etude métrique des courbes planes ? ? Dans tout ce chapitre a et b sont deux réels et I J sont des intervalles de R et k ?? N? ?? ? Quand on notera a b il sera sous-entendu que a b Le plan R est muni de sa structure euclidienne et de son orientation canoniques sa F BE base canonique est notée Longueur et abscisse curviligne Paramétrages admissibles et orientation Dé ?nition Ck-di ?éomorphisme Soit I ?? ? J une application On dit que est un Ck-di ?éomorphisme de I sur J si ? est bijective de I sur J ? est de classe Ck sur I ? ?? est de classe Ck sur J En pratique Etant donné le théorème de dérivabilité des fonctions réciproques dire que est un Ck-di ?éomorphisme de I sur J revient à dire que est de classe Ck sur I que ne s ? annule pas sur I et que J f I Théorème Stricte monotonie des Ck-di ?éomorphismes Soit un Ck- di ?éomorphisme de I sur J Alors est strictement monotone sur I Démonstration Conformément à la remarque précédente ne s ? annule pas sur I Or ?? C I R donc est continue sur I Du coup via le théorème des valeurs intermédiaires est soit strictement positive sur I soit strictement négative sur I et donc est strictement monotone sur I Exemple La fonction exponentielle est un C ? -di ?éomorphisme de R sur R ? la fonction logarithme est un C ? -di ?éomorphisme de R? sur R la fonction carrée est un C ? -di ?éomorphisme de R? sur R ? etc Dé ?nition Paramétrage admissible de classe Ck d ? une courbe paramétrée Soient f ?? Ck I R et g ?? Ck J R deux courbes paramétrées On dit que g est un paramétrage admissible de classe Ck de f s ? il existe un Ck-di ?éomorphisme de I sur J tel que f g Une telle application est appelée un changement de paramétrage de classe Ck Les courbes paramétrées f et g ont alors nécessairement le même support Démonstration Soit M ?? R Le point M peut être décrit de deux façons au moyen de f et au moyen de g M appartient au support de f ? ?? ?? t ?? I M f t ? ?? ?? t ?? I M g t ? ?? ?? u ?? J M g u ? ?? M appartient au support de g Comme voulu f et g ont le même support Explication M M est à la fois un f t ? et un g u ? ? PartonÒs de l ? exemple de la courbeÓparamétrée f t ?? ? cos t sin t dé ?nie sur R Le support de f est le cercle trigonométrique x y ?? R x y Or ce cercle peut être décrit de de multiples façons plus ou moins vite dans un sens ou dans