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Loi binomiale 3 LOI BINOMIALE I Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus X ou a Calculer la probabilité des év

LOI BINOMIALE I Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus X ou a Calculer la probabilité des événements X X et X On pourra s'aider d'un arbre pondéré et on désignera par S les succès et E les échecs b Calculer P X k k On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès obtenus Y ?? On voudrait calculer la probabilité de l'événement Y a Peut-on encore raisonner à l'aide d'un arbre b Calculer la probabilité qu'il commence par quatre succès suivis de deux échecs c Mais les succès et les échecs n'apparaissent pas nécessairement dans cet ordre Parmi les mots de six lettres qui ne contiennent que des S et des E combien contiennent exactement quatre fois la lettre S d En déduire la probabilité de l'événement Y II Loi binomiale dé ?nition Dé ?nition Soit l'univers associé à une expérience aléatoire Soit X une variable aléatoire dé ?nie sur On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n ?? et p ?? lorsque ? ? X n ? pour tout k ?? n P X k Cnk pk ?? p n ??k On note parfois X B n p n n Remarque on a bien P X k Cnk pk ?? p n ??k p ?? p n ce qui explique pourquoi cette k k loi est dite binomiale Théorème Soit une épreuve comportant deux issues Succès et Echec On note p la probabilité de Succès On répète n fois de façons indépendantes l'épreuve Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès Alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p Démonstration en généralisant le raisonnement vu en introduction I b c d La probabilité d'avoir k succès suivis de n ?? k échecs est pk ?? p n ??k Loi binomiale page G COSTANTINI CMais les succès et les échecs n'apparaissent pas nécessairement dans cet ordre Voici un moyen de dénombrer toutes les possibilités d'apparition des succès et échecs on considère l'ensemble des mots de n lettres qui ne contiennent que des S et des E On sait qu'il y en a exactement Cnk qui contiennent exactement k fois la lettre S et donc n ?? k fois la lettre E On en déduit P X k Cnk pk ?? p n ??k et ceci pour tout k ?? n Remarques Si on note q la probabilité d'Echec on a P X k Cnk pk qn ??k La probabilité d'avoir n succès est P X n pn La probabilité d'avoir aucun succès est P X qn Par conséquent la probabilité d'avoir au moins un succès est P X ?? P X ?? qn Exemple Reprenons la situation de l'introduction la probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p On suppose qu'il tire n fois Quelle est la probabilité qu'il