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Signaux aleatoires 10 2 Signaux aléatoires A Dé ?nitions A Description probabiliste La notion de signal aléatoire est plus ou moins intuitive Mais pour être capable de les traiter nous devons en donner une dé ?nition formelle Un signal aléatoire peut être

Signaux aléatoires A Dé ?nitions A Description probabiliste La notion de signal aléatoire est plus ou moins intuitive Mais pour être capable de les traiter nous devons en donner une dé ?nition formelle Un signal aléatoire peut être dé ?ni comme une fonction x t à deux paramètres Le premier représente le temps continu ou discret et l ? autre une variable aléatoire Pour une valeur donnée de x t x t est une réalisation du signal temporel On parle aussi d ? échantillon ou de trajectoire ?g - A chaque instant t X t x t est une variable aléatoire Le signal aléatoire peut donc être décrit par une densité de probabilité que nous noterons p x t ou une fonction de répartition F x t Nous avons F x t P X t ? x p x t dx P x ? X t x dx ?? p x t ? F x t ? x La densité p x t est dite densité de probabilité du premier ordre Il est également important de pouvoir décrire les relations pouvant exister entre tout couple de variables aléatoires prises à deux instants t et t Pour cela nous dé ?nissons la fonction de répartition et la densité de probabilité de deuxième ordre avec F x t x t P X t ? x X t ? x p x t x t ? F x t x ? x ? x t De manière similaire nous pouvons également dé ?nir des probabilités d ? ordres supérieurs A Stationnarité Un signal aléatoire est dit stationnaire au sens strict si toutes ses propriétés statistiques à tous les ordres sont invariantes dans le temps C ? est-à-dire que les deux signaux X t et Y t X t ont les mêmes propriétés statistiques Dans la pratique on se limite très souvent aux signaux aléatoires stationnaires du deuxième ordre pour lesquels les propriétés statistiques d ? ordre et sont indépendantes des instants d ? observation Nous avons alors S Tisserant ?? ESIL ?? Traitement du signal ?? - - CF x t F x et p x t p x E x t E x x et E x t E x x ?x F x t x t F x x et p x t x t p x x avec t ?? t La probabilité du premier ordre est indépendante du temps et celle du deuxième ordre ne dépend que de l ? intervalle séparant les deux instants d ? observation Fig - Quatre réalisations ou échantillons d ? un même processus stochastique A Ergodisme Considérons un échantillon ou trajectoire d ? un signal aléatoire que nous notons x t pour alléger l ? écriture C ? est un signal temporel dont nous pouvons calculer la valeur moyenne ? x lim T x t dt T ? ? T Un signal aléatoire est dit ergodique si ses valeurs moyennes statistiques sont identiques à ses valeurs moyennes temporelles C ? est-à-dire pour un