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SESSION MPMA ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES Lundi avril h - h N B le candidat attachera la plus grande importance à la clarté à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d ? énoncé il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il a été amené à prendre Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé d ? un problème avec quatre parties CPartie I - Permutation limite-intégrale ? et intégrale de Gauss On considère l ? intégrale de Gauss I e ??x dx I - Utilisation d ? une série entière Q Démontrer à l ? aide d ? une série entière que ? I ?? n n n n On pose pour n ?? N sn n k ?? k k k Q Justi ?er que pour tout n ?? N on a I ?? sn n n Q Informatique écrire une fonction récursive factorielle qui prend en argument un entier naturel n et renvoie l ? entier n Q Informatique en déduire un script qui détermine un entier N tel que I ?? sN ?? I - Utilisation d ? une autre suite de fonctions Pour tout n ?? N ? on dé ?nit sur ? la fonction fn par fn x ?? x n n Q Déterminer en détaillant la limite simple de la suite de fonctions fn n ??N ? Q Soit n ?? N ? Démontrer que ??x ?? fn x e ??x En déduire que n I lim n ? ? k n k ?? k nk k Fin extrait C C C C C C C