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Cours 1 rappels mathematique algebre lineaire

Université d ? Adrar Faculté des sciences et technologies Département de Mathématique et Informatique ème Année Informatique Option SI Module Programmation linéaire Rappels Mathématique algèbre linéaire Email dje benatiallah univ-adrar edu dz CPlan du cour Rappel sur les espaces vectoriels et les matrices Matrices en informatique Comatrices déterminants systèmes linéaires Polynôme caractéristique valeurs propres ss- espace propre Diagonalisation Matrices de covariance CNotion de Corps nécessaire pour un e v Un corps commutatif est un ensemble avec lois internes appelées addition et multiplication L'addition est associative commutative a un élément neutre et tout élement doit avoir un symétrique La multiplication doit aussi être associative commutative car c'est un corps commutatif avec un élément neutre et tout élément doit avoir un symétrique sauf car n'est pas dé ?ni La multiplication doit être distributive par rapport à l'addition Exemples de corps Q R ou C ? N est-il un corps N n'est pas un corps car un entier n'a pas d'inverse CRappel sur les Espaces Vectoriels Un Espace Vectoriel e v est un ensemble avec lois ? loi interne ? loi externe faisant intervenir un élément d'un corps commutatif à ? no mbloreisi ?ntaeprpneleé scalaire ? Un vecteur est un élément d'un espace vectoriel CLoi interne notée la loi est interne ? car un vecteur de l'e v un autre vecteur de l'e v donne un vecteur de l'e v La loi interne d'un e v doit être ? Associative v u w v u w ? Commutative v u u v ? Elt neutre noté du fait que la loi est notée ? Tout elt a un symétrique ici appelé opposé ? du fait que la loi est ? C Loi externe notée la loi est externe car elle fait intervenir un élement extérieur à l'e v appelé scalaire qui doit appartenir à un corps contenant des nombres cf er transparent Loi externe scalaire vecteur donne vecteur Le scalaire doit être un réel un rationnel ou un complexe car le scalaire doit être dans un corps qui contient des nombres La loi externe doit ? posséder un élement neutre noté du fait que la loi est notée ? être associative ? être distributive par rapport à la loi interne CExercice Notation on dit qu'un vectoriel est sur X ? si X est le corps auquel appartient le scalaire nécessaire à la loi externe On note un vectoriel sur X ? un X-e v Les vectoriels R Q et C sont-ils des vectoriels sur R sur Q ou sur C Exemple R est -il un R-e v les vecteurs sont des réels et on prend les scalaires sur R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R est-il un C-e v C C RR QQ ? Remplissez le tableau suivant CCeesst-ti-liluunn X X X X XX RReesst-ti-liluunn X X XX QQ eesst-ti-liluunn XX CExemples d'e v de base autres que C R Q Ensemble des suites qu'on n'utilisera pas Ensemble des fonctions F R R est-il un