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Cours math se Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique COURS DE MATHEMATIQUES KHALID SBAI Enseignant ?? Chercheur Ecole Supérieure de Technologie Département de Génie Electrique kh sbai yahoo fr Université Moulay Isma? l Khalid SBAI

Ecole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique COURS DE MATHEMATIQUES KHALID SBAI Enseignant ?? Chercheur Ecole Supérieure de Technologie Département de Génie Electrique kh sbai yahoo fr Université Moulay Isma? l Khalid SBAI ?? COURS DE MATHEMATIQUE APPLIQUEES CEcole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Chapitre II SERIES ENTIERES Khalid SBAI ?? COURS DE MATHEMATIQUE APPLIQUEES CEcole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique I DEFINITIONS I Dé ?nition On appelle série entière de variable réelle x toute série de fonctions dont le terme général Un x est de la forme Un x an xn o? an désigne une suite de nombres réels appelée coe ?cient ? d ? ordre n de la série entière ? Une série entière est notée an xn n Selon cette dé ?nition la somme partielle Sn de rang n est un polynôme de degré n Elle constitue donc une généralisation de la notion de polynôme ? ? n Pour une valeur x ?xée de x an x est une série numérique n Khalid SBAI ?? COURS DE MATHEMATIQUE APPLIQUEES CEcole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique I Lemme Lemme d ? Abel ? ? n Soit an x une série entière On suppose qu ? il existe x ??R n n tel que la suite an x soit bornée Alors la série n ? ? n an x n est absolument convergente pour x x Démonstration La suite an x n est bornée n ?? il existe M tel que ??n ??N an x n M Khalid SBAI ?? COURS DE MATHEMATIQUE APPLIQUEES CEcole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique Suite Pour x x an xn an x n xn x n an x n xn x n ? M xn x n ? ? xn La série n x n est une série géométrique de raison x x donc convergente ? ? D ? après le théorème de comparaison la série an xn est ? ? n convergente et par conséquent la série an xn converge absolument pour x x n Khalid SBAI ?? COURS DE MATHEMATIQUE APPLIQUEES CEcole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique ? I Dé ?nition ? n Soit an une suite réelle et n an x sa série entière associée On appelle rayon de convergence de la série la borne sup de l ? ensemble x ? anxn est bornée Et on la note par R Dans la suite nous nous concentrons essentiellement sur la recherche de l ? ensemble des valeurs réelles de x pour lesquelles la série est convergente ? Exemple ? n La série géométrique x est convergente pour - x n Khalid SBAI ?? COURS DE MATHEMATIQUE APPLIQUEES CEcole supérieure de Technologie Département de Génie Electrique II Domaine de convergence d ? une série entière II Propriété Si une série entière converge en x alors elle converge pour tout x véri ?ant x x II Rayon de convergence ? ? n Soit an x une série entière Alors il existe