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Initiation a la recherche en mathematiques bisson

Initiation à la recherche en mathématiques Gaetan Bisson https gaati org bisson CIntroduction Les mathématiques remontent aux premières civilisations et font l ? objet d ? études systématiques depuis plusieurs siècles La manière concise par laquelle elles vous ont été enseignées en licence est trompeuse a ?n de prendre cette forme aboutie ce que nous appelons de nos jours les fondations des mathématiques ont connu bien des remaniements Ce cours a pour objectif de montrer la démarche de recherche par laquelle de nouvelles mathématiques voient le jour et progressivement prennent la forme établie sous laquelle elles sont ensuite enseignées Discuter des thèmes de recherche actuels nous entra? nerait bien trop loin aussi nous contenterons nous de considérer quelques exemples concrets Nous insisterons sur deux points ?? les démarches suivies par les chercheurs en mathématiques ?? les outils permettant de supporter ces démarches Parmi ceux-ci l ? outil informatique occupe aujourd ? hui une place importante la seconde partie de ce cours sera dédiée à leur usage avec pour objectif de servir tant le chercheur que l ? enseignant Rappelons qu ? aux épreuves orales l ? utilisation de logiciels est fortement appréciée par le jury Note Le titre de ce module est un oxymore on peut s ? initier à des techniques connues et ma? trisées mais par essence pas à la recherche Autrement dit ce cours ne fera pas de vous des chercheurs il vise modestement à vous familiariser avec le monde de la recherche et certains des outils qui y sont mis en ?uvre CTable des matières Contexte Perspectives Parcours Contributions Motivation et enjeux État de l ? art Di ?culté et originalité Di ?usion et impact Démarches Cadre expérimental Cadre mathématique Outils Collaborations Exposés Articles Cours Livres L ? outil informatique Utilité Calculs Expérimentation Records Illustrations Logiciels Algèbre avec Géométrie avec GeoGebra Bibliographie CChapitre Contexte Le monde mathématique des chercheurs est très di ?érent de celui des étudiants même si les objets étudiés sont les mêmes la manière de les considérer est fondamentalement di ?érente Ce chapitre vise a donner une vague idée de la manière dont fonctionnent les chercheurs Perspectives La recherche en mathématiques consiste à découvrir de nouvelles vérités Les vérités connues sont des théorèmes c ? est-à-dire que leur véracité est assurée par une preuve Lorsque l ? on suppose une vérité mais ne parvient pas encore à la prouver c ? est une conjecture Le but ultime est de pouvoir répondre à toute question par un théorème Exemple Pour n ?? ? soit la question Existent-ils des entiers positifs non nul x y z tels que xn yn zn ? Pour n et n c ? est évident que la réponse est oui En Fermat conjecture que pour tout n la réponse est négative Il prouve cela dans le cas particulier n En Wiles prouve la conjecture de Fermat pour tout entier n elle devient le théorème de Wiles Une fois qu ? une question particulière a obtenue une réponse satisfaisante on se