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Colles EXERCICES DE COLLES Exercices donnés en colle Lycée Chateaubriand MP Je ne revendique en aucun cas la paternité de ces exercices je n ? ai fait que les sélectionner Pour toute demande de correction détaillée ne pas hésiter à me contacter par e-mail

EXERCICES DE COLLES Exercices donnés en colle Lycée Chateaubriand MP Je ne revendique en aucun cas la paternité de ces exercices je n ? ai fait que les sélectionner Pour toute demande de correction détaillée ne pas hésiter à me contacter par e-mail Table des matières Espaces dénombrables Familles sommables Probabilités Suites et séries numériques Suites et séries de fonctions Séries entières Fonctions de la variable réelle à valeurs vectorielles Intégration Groupes anneaux et algèbres Réduction Convexité Espaces vectoriels normés Espaces préhilbertiens ou euclidiens Équations di ?érentielles linéaires Calcul di ?érentiel Remarques indications et réponses succinctes Espaces dénombrables Exercice On appelle nombre algébrique tout nombre complexe x solution d ? une équation de la forme anxn a avec n ?? N et a an ?? Z L ? ensemble de tous les nombres algébriques est-il dénombrable Familles sommables Exercice Pour quelles valeurs de ?? R ? la famille i j est-elle sommable i j ??N ? Florian LEMONNIER Lycée Chateaubriand ?? MP ?? CEXERCICES DE COLLES Exercice Pour quelles valeurs de ?? R ? la famille i j est-elle sommable i j ??N ? Exercice On dit que la famille de nombres complexes ui i ??I est de carré sommable lorsque la famille u i i ??I est sommable On note L I l ? ensemble des familles de carré sommable Démontrer ou réfuter à l ? aide d ? un contre- exemple les assertions suivantes Si ui i ??I est sommable alors elle est de carré sommable Si ui i ??I est de carré sommable alors elle est sommable Si ui i ??I et vi i ??I sont de carré sommable alors uivi i ??I est sommable Si ui i ??I et vi i ??I sont de carré sommable alors uivj i j ??I est sommable L I est un espace vectoriel Exercice La famille p ?? p ?? p p q p q p q est-elle sommable p q ?? N ? Exercice ? ? x n Montrer que n ?? x n ? ? n xn ?? x n pour tout x ?? C tel que x Probabilités Exercice Dans une population donnée on suppose que la probabilité pk pour qu ? une famille ait k enfants est dé ?nie par p p a et pour k ? pk ?? a ??k o? a ?? On suppose de plus que la probabilité d ? avoir un garçon ou une ?lle lors d ? une naissance est la même Quelle est la probabilité pour qu ? une famille ayant deux garçons ait deux enfants seulement Quelle est la probabilité pour qu ? une famille ait deux ?lles sachant qu ? elle a deux garçons On pourra utiliser l ? identité suivante sans la démontrer ??x ?? ? ? n n n ?? xn ?? ?? x Exercice Soit F P un espace probabilisé Montrer que si A A An sont n événements quel- n conques de F alors P A ?? A ?? ?? An ? ?? n