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Ecricome 2011 e ECRICOME Eco EXERCICE On dit qu ? une matrice A carrée d ? ordre n est une matrice nilpotente s ? il existe un entier naturel k non nul tel que Ak n et Ak n o? n représente la matrice carrée nulle d ? ordre n Soit A une matrice carrée d ?

ECRICOME Eco EXERCICE On dit qu ? une matrice A carrée d ? ordre n est une matrice nilpotente s ? il existe un entier naturel k non nul tel que Ak n et Ak n o? n représente la matrice carrée nulle d ? ordre n Soit A une matrice carrée d ? ordre n on dit que le couple N est une décomposition de Dunford de A lorsque est une matrice diagonalisable N est une matrice nilpotente N N et A N On pose A et N Véri ? er que N est une décomposition de Dunford de A Dans toute la suite de l ? exercice on pose A A N A A D A a Déterminer les valeurs propres de A b La matrice A est-elle diagonalisable On considère les matrices colonnes X A X A et X A a Calculer les produits X X et X b Justi ? er que la matrice est diagonalisable et déterminer une matrice P inversible telle que P P D c Calculer P a Etablir que N est une matrice nilpotente b Véri ? er que N est une décomposition de Dunford de la matrice A c En utilisant la formule du binôme de Newton que l ? on justi ? era donner l ? expression de An en fonction des puissances de de N et de n d Etablir que Pour tout entier naturel k kN N e Proposer une décomposition de Dunford de An ECRICOME Eco Page CEXERCICE On considère l ? application ' dé ? ni sur R par ' x x ln x si x ' ainsi que la fonction numérique f des variables réelles x et y dé ? nie par x y f x y xy ln x ln y PARTIE I Etude des zéros de ' Déterminer la limite de ' x lorsque x tend vers ainsi que la limite de ' x x lorsque x tend vers Interpréter graphiquement cette limite Prouver que ' est continue sur R Justi ? er la dérivabilité de ' sur R et calculer sa fonction dérivée Montrer que ' est dérivable en Donner l ? allure de la représentation graphique de ' au voisinage du point d ? abscisse Dresser le tableau de variations de ' On rappelle qpue ln ' Montrer l ? existence d ? un unique réel justi ? er que R Etablir la convergence de l ? intégrale I ' x dx et véri ? er que tel que ' et I On copnsidère les deux suites an n N et bn n N dé ? nies par a et b n si ' an ' an bn alors an an et bn an bn n si ' an ' an bn alors an an bn et bn bn Ecrire un programme en Pascal calculant a et b PARTIE II Extrema de f sur Rappelons que est l ? unique réel véri ? ant ' Justi ? er que f est