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Exam procal dec09 Master de Math ?ematiques - Processus al ?eatoires Examen du d ?ecembre Dur ?ee heures Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction Les documents et les calculatrices sont autoris ?es Les points sont donn ?es a titre indicatif P

Master de Math ?ematiques - Processus al ?eatoires Examen du d ?ecembre Dur ?ee heures Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction Les documents et les calculatrices sont autoris ?es Les points sont donn ?es a titre indicatif Pour obtenir points il est demand ?e de r ?esoudre les exercices et et au choix soit le probleme I soit le probleme II Exercice points Un serveur informatique envoie des messages selon un processus ponctuel de Poisson En moyenne il envoie un message toutes les secondes Quelle est la probabilit ?e que le serveur n ? envoie aucun message au cours des premieres minutes de sa mise en service A quel moment esp ?erez-vous le second message quel est le temps moyen de l ? envoi du second message Quelle est la probabilit ?e que le serveur n ? ait pas envoy ?e de message durant la premiere minute sachant qu ? il a envoy ?e messages au cours des premieres minutes Quelle est la probabilit ?e qu ? il y ait moins de messages au cours des premieres minutes sachant qu ? il y en a eu au moins au cours de la premiere minute Exercice points Deux joueurs A et B s ? a ?rontent dans une partie de tennis Chaque point jou ?e est gagn ?e par le joueur A avec une probabilit ?e de sinon il est gagn ?e par B On suppose les points ind ?ependants Initialement les deux joueurs sont a ?egalit ?e Pour gagner la partie un joueur doit obtenir une avance de deux points sur son opposant Mod ?eliser le jeu par une cha ne de Markov absorbante a ?etats Egalit ?e deuce Avantage A Avantage B A gagne et B gagne Donner la matrice de transition de cette cha ne Montrer que la matrice fondamentale de la cha ne est donn ?ee par F EB F F N F ED F F Calculer la probabilit ?e que A gagne si les joueurs sont initialement a ?egalit ?e Calculer la dur ?ee moyenne du jeu si les joueurs sont initialement a ?egalit ?e C Exercice points On consid ere la cha ne de Markov suivante Donner la matrice de transition P de la cha ne La cha ne est-elle irr ?eductible La cha ne est-elle r ?eguli ere D ?eterminer la distribution stationnaire de la cha ne La cha ne est-elle r ?eversible Probleme I points On considere la cha ne de Markov suivante sur X Z ? ?? ?? ?? ?? La cha ne est-elle irr ?eductible L ? ?etat est-il r ?ecurrent L ? ?etat est-il r ?ecurrent positif L ? ?etat est-il ap ?eriodique Soit ? la distribution stationnaire de la cha ne Calculer ? Calculer ?i pour tout i ?? X C Probl eme II points On consid ere une marche al ?eatoire sur N absorb ?ee en ??p p p ??p ??p p ??p On note h i Pi ? D ?eterminer h