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Pondichery s avril 2010 A P M E P Durée heures Baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous les candidats points Partie A - Restitution organisée de connaissances Soit a et b deux réels tels que a b et f et g deux fonctions continues sur l ? int

A P M E P Durée heures Baccalauréat S Pondichéry avril EXERCICE Commun à tous les candidats points Partie A - Restitution organisée de connaissances Soit a et b deux réels tels que a b et f et g deux fonctions continues sur l ? intervalle a b On suppose connus les résultats suivants b b b ? f t g t dt f t dt g t dt a a a b ? Si pour tout t ?? a b f t alors f t dt a b Montrer que si pour tout t ?? a b f t g t alors f t dt a b g t dt a Partie B Soit n un entier naturel non nul On appelle fn la fonction dé ?nie sur ? par fn x ln xn et on pose In ln xn dx On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal O ? ?? F BE ? ?? a Déterminer la limite de f en ? b Étudier les variations de f sur ? c À l ? aide d ? une intégration par parties calculer I et interpréter graphiquement le résultat Pour le calcul de I on pourra utiliser le résultat suivant pour tout x ?? x x ?? x a Montrer que pour tout entier naturel non nul n on a In ln b Étudier les variations de la suite In c En déduire que la suite In est convergente Soit g la fonction dé ?nie sur ? par g x ln x ?? x a Étudier le sens de variation de g sur ? CBaccalauréat S A P M E P b En déduire le signe de g sur ? Montrer alors que pour tout entier naturel n non nul et pour tout x réel positif on a ln xn xn c En déduire la limite de la suite In EXERCICE points Candidats n ? ayant pas suivi l ? enseignement de spécialité L ? espace est muni d ? un repère orthonormal O ? ?? F BE ? ?? ? ?? k Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie Dans le cas d ? une proposition fausse la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple F F F F x t La droite de représentation paramétrique y ?? t t ?? R est F F parallèle au z t ?? plan dont une équation cartésienne est x y z ?? Les plans P P ?? P ?? ?? d ? équations respectives x ?? y z x y ?? z et x ?? y z n ? ont pas de point commun Les droites de représentations paramétriques respectives F F x ?? t F F x u F F F F y t t ?? R et y u u ?? R sont sécantes F F z ?? t F F z ?? ?? u On considère les points A