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Chap programmation lineaire

Chap Programmation linéaire La programmation linéaire La programmation linéaire P L est un processus d ? aide à la décision qui permet de trouver une solution optimale si elle existe gr? ce à la modélisation mathématique La modélisation mathématique peut se décliner en plusieurs types d ? optimisation la programmation linéaire la programmation non linéaire le contrôle optimal ? Nous traiterons ici la programmation linéaire On aborde dans ce cours la programmation linéaire appliquée à l ? économie et la gestion avec le but n De modéliser un problème économique en un problème de programmation linéaire n D ? optimiser une fonction sous contraintes n D ? interpréter en terme économique les résultats fournis par la programmation linéaire Un modèle est une représentation de la réalité qui capture l ? essence ? de la réalité i e l ? angle qui nous intéresse La programmation linéaire est un outil qui permet de résoudre les cas les plus simples Le but essentiel est d ? introduire le principe de modélisation et le rôle de la programmation mathématique Dans la réalité la programmation mathématique utilisée est souvent plus complexe que la programmation linéaire programmation non linéaire programmation probabiliste contrôle optimal et les calculs se font informatiquement Formulation d ? un problème de programmation linéaire P L En P L la fonction à optimiser et les contraintes à respecter sont linéaires variables au premier degré La forme canonique générale d ? un problème de P L est la suivante n Min ou Max n z n n n cj xj j n n n tij x j n n di i n p j n n n tij x j n di i n p n m j n x j n j n q xj signe quelconque j n q n n Avec c j ti j di constantes et x j variables n n La fonction z n c j x j s ? appelle la fonction économique ou fonction objective ou critère i n Les inéquations et équations sont les contraintes réelles Les inéquations sont les contraintes de non négativité La fonction à optimiser peut être soit une fonction à minimiser soit une fonction à maximiser On présente ici les cas généraux de minimisation et de maximisation avec l ? interprétation économique de chaque élément du programme Exercice Montrer que toutes les contraintes peuvent se mettre sous la forme ou seulement Minimisation d ? un coût sous des obligations de fonctionnement n min n z n n n c j x j j n n n tij x j n di i n m j n x j n j n n Première interprétation i bien produit j activité di demande de bien i à satisfaire tij taux de production du bien i par l ? activité j c j coût unitaire de l ? activité j x j niveau de l ? activité j Deuxième interprétation i activité j bien consommé matière premières di niveau minimum de fonctionnement de