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Approximations de la racine carree de deux partie 2 par dichotomie

Approximations de la racine carrée de deux La racine carrée de notée ?? est le nombre positif dont le carré est ?? D ? un point de vue géométrique cela signi ?e qu ? un carré d ? aire a pour côté ?? Aujourd ? hui avec la plupart des calculatrices il est facile d ? obtenir une valeur approchée de ce nombre avec une bonne précision Mais les constructeurs de ces machines n ? indiquent pas comment cette valeur a été calculée Nous commencerons donc par expliquer des méthodes pour approximer ?? Partie A En utilisant la règle graduée À partir d ? un quadrillage de côté cm on construit le quadrilatère ABCD comme indiqué sur la ?gure ci-dessous Expliquer pourquoi ABCD est un carré a Calculer l ? aire de ce carré b En déduire la longueur de son côté a Construire un carré de ce quadrillage à l ? échelle b Mesurer sa diagonale au mm près c En déduire une valeur approchée du nombre ?? Déterminer une autre valeur approchée en faisant une construction à l ? échelle Partie Par dichotomie À partir de deux nombres a et b tels que a ?? b on suit les étapes du programme suivant étape On choisit un nombre m compris entre a et b étape On calcule m étape Si m on remplace b par m Sinon on remplace a par m On répète ensuite le programme avec les nouvelles valeurs de a et b ainsi obtenues À chaque fois on obtient un encadrement plus précis de ?? Quelles valeurs de a et b peut-on choisir pour commencer Quelle valeur de m est-il plus judicieux de choisir à l ? étape Pourquoi Comment calcule-t-on cette valeur à partir de a et b Rassembler dans un tableau les résultats des premières itérations Construire un script qui donne les résultats des premières itérations Ce script devra comporter une boucle Rechercher dans un dictionnaire les dé ?nitions du mot dichotomie ainsi que son étymologie Partie B Les limites de l ? utilisation d ? un dessin à l ? échelle Le carré de côté c cm est une représentation à l ? échelle c du carré de côté cm Le nombre ?? exprime donc le rapport de la longueur d de la diagonale d d ? un carré à la longueur c du côté de ce carré ?? d c c On a mesuré au mm près la diagonale d ? un carré de m de côté Quelle est la précision de la valeur approchée de ?? obtenue Quelle est la longueur du côté du carré qu ? il faudrait construire au mm près pour obtenir une valeur approchée de ?? au millionième près Partie C Un encadrement par deux fractions On considère les fractions a et b Calculer a et b Des fractions a et b quelle est la meilleure valeur approchée de ?? Encadrer le nombre ?? par ces deux fractions Partie A L ? algorithme de Théon de