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Cc1 2021 Optimisation non-linéaire Année - Contrôle continu n o - heure Consignes les deux exercices doivent être rédigés sur des copies séparées Les documents calculatrices et téléphones portables ne sont pas autorisés ll est important d'apporter une gra

Optimisation non-linéaire Année - Contrôle continu n o - heure Consignes les deux exercices doivent être rédigés sur des copies séparées Les documents calculatrices et téléphones portables ne sont pas autorisés ll est important d'apporter une grande attention au soin et à la presentation justi cation et rédaction des réponses Le barème est indicatif et pourra subir des modi cations Si n N on note n le produit scalaire euclidien de Rn et k k n la norme induite associée EXERCICE N o points Soient n m N et A M m n R On considère la fontion Fdé nie pour tout x Rn par F x k Ax k m Démontrer qu'il existe M S n R telle que pour tout x Rn on a F x M x x n Montrer que Fest de classe C sur Rn puis démontrer que r F x M x pour tout x Rn Que vaut HessF x On introduit la fonction ' R Rdé nie pour t R par ' t F x t d o? x Rn et d Rn sont xés On suppose que M d d n a Énoncer la règle de la cha? ne b Montrer que 'est C puis calculer ' t pour tout t R c Expliquer pourquoi 'est une fonction polynomiale de degré au plus dont le coe - cient dominant devant le monôme t est M d d n d Étudier les variations de 'sur R EXERCICE N o points On considère la fonction f R Rdé nie pour tout x y R par f x y x y x et le problème inf x y R f x y P Démontrer qu'il existe c et d R tels que pour tout x y R f x y ck x y k d Que peut-on en déduire pour le problème P Étudier la convexité de la fonction f f est-elle concave convexe ni l'un ni l'autre Résoudre l'équation rf x y puis résoudre le problème P