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Chapitre 4 m1sie pdf Chapitre VIUniversité Sidi Mohamed Ben AbdellahFaculté Des Sciences et Technique FèsDépartement Génie ElectriqueChapitre VISignaux aléatoiresPr N ES-SBAI Master SIE I-IntroductionUnsignalestditaléatoirelorsqu ? onestincapabledeledécri

Chapitre VIUniversité Sidi Mohamed Ben AbdellahFaculté Des Sciences et Technique FèsDépartement Génie ElectriqueChapitre VISignaux aléatoiresPr N ES-SBAI Master SIE I-IntroductionUnsignalestditaléatoirelorsqu ? onestincapabledeledécrireparuneloimathématiquesimple Exemple lebruit l ? éclair l ? électrocardiogramme lessignauxboursiersétudiésparleséconomistes a Exemples de signaux biomédicaux a -Intervalles entre battements du c ?ur ms b -Pression artérielle moyenne mm Hg ?-Volume respiratoire b c Pr N ES-SBAI Master SIE a ? ? Unsignalaléatoirepeutêtredetypetransitoireoupermanent danslecaspermanentonpeutledécrireparlesloisdeprobabilités Laprobabilitéestunnombreréel p ?? Variablealéatoirexatellequep xa xi a ?? etona aa ? ? Unsignalaléatoirecontinuétantdécritparunefonctionquiévoluedansletempsdefaçonincertaine ons ? appuiesurlesnotionsdestatistiquesdedonnéespourledécrire Pr N ES-SBAI Master SIE II-Signauxaléatoirescontinus -QuelquesdéfinitionsUnevariablealéatoirecontinueXestcomplètementcaractériséeparsafonctiondedensitédeprobabilitépX x quipermetlecalculdelaprobabilitéqueXappartienneàl ? intervalle a b ?? ? ? bl ? intervalle a b On définit aussi sa fonction de répartition FX x par L ? opérateur espérance mathématique ?? ? ? aX x dxp a b P X ?? ?? ? xXXd ? ? ?p x F ?? ? ?? ? dx x fxE X X Pr N ES-SBAI Master SIE L ? opérateur espérancemathématique Ses propriétés principales ??Si X et Y admettent une espérance alors ??Si X et Y sont indépendantes et admettent une espérance alors ?? ? ?? ? dx xfxXEX ?? ? ?? ? ?? ? YbEXaEbYaXER ? ? ? ? ? ba Ceci est valable dans le cas de variable continue ou discrète ?? ? ?? ? ?? ? YEXEYXE ? Pr N ES-SBAI Master SIE Une V A est caractérisée par sa moyenne mX et sa variance Var X ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? -XXXX-XX x dxp x-m E X-m E X-E X ?XVar x dxxpE X m Définition de la variance On appelle variancede X notée Var X l ? espérance de la variable Aléatoire s ? elle existe La variance de X existe si et seulement si et on a À démontrer X-E X E X E X -XEXVar ? Pr N ES-SBAI Master SIE Remarques La variance mesure de combien les valeurs prises par X s ? écartentDe la valeur moyenne E X La variance n ? est pas homogène on introduit donc la notion d ? écart Type noté ??X définit comme étant la racine carrée de la variance Propriétés de la variance ? Pour tout ? Si X et Y sont indépendantes alors XVaraXVarXVaraaXVarRa ? ? ? ? YVarXVarYXVar ? ? ? À démontrer Pr N ES-SBAI Master SIE Dans le cas de V A continues X et Y la densité de probabilité conjointe pXY x y est définie par Cette relation est souvent caractérisée de façon plus simple par la covariance cov X Y entre X et Y dydxyxpdcYbaXPbadcXY ?? ?? ? ? ? cov Y-m E X-mYX ? cov Y-m E X-mYXYX ? Ou par sa valeur normalisée entre - et appelée corrélation cov YXYXYXmYEmXEmYmXEYXY X ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ??Y X ?? Pr N ES-SBAI Master SIE Remarques -deux variables sont indépendantes ssi la valeur prise lors du tirage aléatoire de la èren ? a aucune influence sur le tirage de la seconde on écrit alors -Deux variables sont non