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Beassoum nkondje tsiengeny nkuiya wounang

Mémoire de processus stochastique II REPUBLIQUE DE CÔTE D ? IVOIRE Union Discipline Travail Ministère de l ? Enseignement Supérieur Ecole Nationale Supérieure de Statistique et d ? Economie Appliquée d ? Abidjan E N S E A Abidjan-Côte d ? Ivoire Stock price and the geometrical Brownian Motion A simulation Using Monte Carlo method Présenté par BEASSOUM Christian NKONDJE Alex NKUIYA Bruno TSIENGENY Jocelyn WOUNANG Romain Elèves Ingénieurs Statisticiens Economistes e année Sous la direction de BASS Chitou Ph D Enseignant à l ? ENSEA -Juin - CI Introduction Présentation du problème Dans un modèle stochastique les prix des actifs sont représentés comme la solution d ? une équation di ?érentielle stochastique Le problème essentiel posé les mathématiques ?nancières est d ? évaluer les produits dérivés sur ces actifs Dans la plupart des cas le payo ? de ces produits est donné par une fonction de l ? actif sous- jacent à une ou des date s future s Le prix dans un modèle complet est alors l ? espérance sous l ? unique probabilité risque neutre du payo ? actualisé L ? intérêt numérique est donc de calculer cette espérance de la manière la plus e ?cace et la plus rapide possible Il existe de nombreux types de méthodes pour cela ?? Ces espérances peuvent à l ? aide de la formule de Feynman-Kac s ? écrire comme les solutions d ? équations aux dérivées partielles Ainsi on peut utiliser les méthodes existantes de type éléments ?nis ou di ?érences ?nies ?? Il existe également les méthodes dites d ? arbre qui consistent à approcher la solution de l ? équation di ?érentielle stochastique par une cha? ne de Markov discrète ?? En ?n les méthodes de Monte Carlo sur lesquelles nous nous concentrerons Ces méthodes nécessitent de savoir simuler l ? EDS du sous-jacent Ce mémoire est divisé en cinq sections principales La première section pose le problème à résoudre la deuxième section analyse la relation entre le Prix d ? une action et Mouvement brownien géométrique la troisième section présente la méthode de Monte Carlo Les quatrième et la cinquième sections présentent respectivement un cas pratique et le programme de simulation sur VBA II Prix d ? une action et Mouvement brownien géométrique A ?n de décrire le prix du titre sous-jacent nous allons dé ?nir un processus stochastique particulièrement important qui constitue la base de la construction de la plupart des modèles ?nanciers Ce processus est nommé le mouvement brownien On appelle mouvement brownien standard un processus stochastique B t t ? à valeurs réelles qui est un processus gaussien a accroissements indépendants et stationnaires dont les trajectoires sont continues Ces propriétés ont la signi ?cation suivante Continuité la trajectoire s ? B s vue comme fonction du temps est une fonction continue Indépendance des accroissements si s ? t B t ?? B s est indépendant de B u u ? s Stationnarité des accroissements si s ? t la loi de B t