M2103 : CORRIGE DS CINEMATIQUE ANALYTIQUE NOM : ...............................
M2103 : CORRIGE DS CINEMATIQUE ANALYTIQUE NOM : .............................................. Pr´ enom : .................................. Exercice 1. Un solide (S) poss` ede une liaison pivot d’axe (I, − → x0) avec un bˆ ati (S0) (Fig. 1). Le rep` ere R0(I, − → x0, − → y0, − → z0) est li´ e au bˆ ati. Le rep` ere R(I, − → x0, − → y , − → z ) est li´ e au solide (S). I φ(t) M(t) (C) S0 S r ⃗ y0=⃗ y ⃗ z ⃗ z0 ⃗ x ⃗ x0 FIGURE 1 – Rotation autour d’une liaison pivot. On pose ϕ(t) = \ (− → x0, − → x ) L’´ evolution de ϕ en fonction du temps est donn´ e par : ϕ(t) = ϕ0 −ωt avec ω constante positive, ω = 1.2 rad/s, et ϕ0 = π rad, constant. On d´ efinit M(t) un point du solide (S) tel que : IM = r o` u r est une constante positive, r = 0.8 m. 1. Calculer ˙ ϕ. ˙ ϕ = −ω. 2. En d´ eduire le vecteur rotation − → Ω(R/R0) de R par rapport ` a R0 en fonction de ω. − → Ω(R/R0) = −ω− → y0 1 DS Cin´ ematique analytique M2103 3. D´ eterminer le vecteur position − − → IM en fonction de r et des vecteurs de base de R. − − → IM = r− → z 4. D´ eterminer le vecteur vitesse du point M par rapport au rep` ere R0, not´ e − → V (M/R0). − → V (M/R0) = d dt − − → IM R0 = r d− → z dt R0 = −rω− → y0 ∧− → z = −rω− → x 5. Application num´ erique : calculer la norme du vecteur vitesse. ∥− → V (M/R0)∥= rω = 1.2 × 0.8 = 0.96m/s. 6. D´ eterminer l’hodographe du vecteur vitesse − → V (M/R0) relatif ` a un point A quelconque du rep` ere R0. L’hodographe relatif au vecteur vitesse est le cercle centr´ e en A de rayon rω. 7. D´ eterminer le vecteur acc´ el´ eration du point M par rapport au rep` ere R0, not´ e − → Γ (M/R0). − → Γ (M/R0) = ( d− → V (M/R0) dt ) R0 = −rω d− → x dt R0 = rω2− → y0 ∧− → x = −rω2− → z 8. Application num´ erique : calculer la norme du vecteur acc´ el´ eration. ∥− → Γ (M/R0)∥= rω2 = 0.8 × 1.22 = 1.152 m/s2. Exercice 2. Soit un mouvement de translation d’un point P appartenant ` a un solide (S). Ce mouvement comporte 3 phases successives 1, 2 et 3 (Fig. 2) : 1) la premi` ere phase commence ` a t = t0 et se termine ` a t = t1. Son acc´ el´ eration est : a1(t) = k(t −t0) 2) la seconde phase commence ` a t = t1 et se termine ` a t = t2. Son acc´ el´ eration est : a2(t) = k 2 t1 −t0 t1 −t2 (t −tm) avec tm = t1+t2 2 3) la troisi` eme phase commence ` a t = t2 et se termine ` a t = t3. Son acc´ el´ eration est : a3(t) = k(t −t3) On donne : t0 = 1 s, t1 = 3 s, t2 = 5 s, k = 1.2 m/s3. La vitesse du point ` a t = t0 et ` a t = t3 est nulle. 1. D´ eterminer analytiquement la vitesse v1 ` a t = t1 en proc´ edant ` a l’int´ egration de l’acc´ el´ eration sur la phase 1. v1 = v(t0) + Z t1 t0 k(t −t0)dt = 1 2k(t −t0)2 t1 t0 = 1 2k(t1 −t0)2 – 2/5 – DS Cin´ ematique analytique M2103 a(t) v(t) t0 t1 t2 t3 tm t t v1= v2 0 0 vm FIGURE 2 – Trajectoires d’acc´ el´ eration et de vitesse en fonction du temps. 2. La vitesse v1 ` a t = t1 est ´ egale ` a la vitesse v2 ` a t = t2. Calculer analytiquement t3 en proc´ edant ` a l’int´ egration de l’acc´ el´ eration sur la phase 3. v(t3) = v(t2) + Z t3 t2 k(t −t3)dt ⇒0 = v1 + 1 2k(t −t3)2 t3 t2 = v1 −1 2k(t2 −t3)2 t3 = t2 + r 2v1 k = t1 −t0 ⇒t3 −t2 = t1 −t0 3. Donner les valeurs num´ eriques de v1, et t3. v1 = 1 21.2(3 −1)2 = 2.4 m/s t3 = t2 + t1 −t0 = 7 sec. 4. Dans la phase 2, sur quelle p´ eriode la vitesse augmente-t-elle ? Dans la phase 2, sur quelle p´ eriode la vitesse diminue-t-elle ? A quel instant la vitesse est-elle maximale ? Sur [t1, tm], l’acc´ el´ eration est positive donc la vitesse augmente. Sur [tm, t2], l’acc´ el´ eration est n´ egative donc la vitesse diminue. La vitesse maximale est atteinte pour t = tm. 5. Tracer qualitativement la vitesse sur les trois phases sur le graphe. – 3/5 – DS Cin´ ematique analytique M2103 6. Calculer analytiquement la vitesse maximale. Application num´ erique. vmax = v1 + Z tm t1 k 2 t1 −t0 t1 −t2 (t −tm)dt = v1 + k 2 t1 −t0 t1 −t2 (t −tm)2/2 tm t1 = v1 −k 4 t1 −t0 t1 −t2 (t1 −tm)2 = k 2(t1 −t0)2 −k 4 t1 −t0 t1 −t2 (t1 −tm)2 = k 2(t1 −t0)2 −k 16 t1 −t0 t1 −t2 (t1 −t2)2 = k 2(t1 −t0)2 −k 16(t1 −t0) (t1 −t2) = k 2(t1 −t0)(t1 −t0 −1 8 (t1 −t2)) = 1.2 2 2(2 + 1 8 (2)) = 1.2(2 + 1 4) = 2.7 m/s Exercice 3. La figure 3 repr´ esente un manipulateur constitu´ e : – d’un bˆ ati (S0) auquel est li´ e le rep` ere R(O, − → x0, − → y0, − → z0), – d’un bras (S1) en liaison pivot d’axe (O, − → z0) avec le bˆ ati. R1(O, − → x1, − → y1, − → z0) est un rep` ere li´ e ` a (S1). On pose α = \ (− → x0, − → x1). – d’un bras (S2) en liaison pivot d’axe (A, − → z0) avec le bras (S1). R2(A, − → x2, − → y2, − → z0) est un rep` ere li´ e ` a (S2) tel que − → OA = a− → x1. On pose β = \ (− → x1, − → x2). – d’une tˆ ete (S3) en liaison pivot d’axe (B, − → z0) avec le bras (S2) telle que − − → AB = b− → x2. FIGURE 3 – Bras manipulateur. – 4/5 – DS Cin´ ematique analytique M2103 1. D´ eterminer l’angle entre l’axe x0 et l’axe x2 en fonction de α et de β. \ (− → x0, − → x2) = α + β 2. D´ eterminer − → Ω(R2/R1) et − → Ω(R/R1). − → Ω(R2/R1) = ˙ β− → z0 − → Ω(R/R1) = −˙ α− → z0 3. D´ eterminer le vecteur vitesse − → V (A/R1). − → V (A/R1) = − → 0 4. D´ eterminer le vecteur vitesse − → V (O/R2). − → V (O/R2) = −a d− → x1 dt R2 = −a −˙ β− → z0 ∧− → x1 = a ˙ β− → y1 5. D´ eterminer le vecteur acc´ el´ eration − → Γ (B/R). − → Γ (B/R) = d dt − → V (B/R) R = d2 dt2 (a− → x1 + b− → x2) R = d dt a ˙ α− → y1 + b( ˙ α + ˙ β)− → y2 R = a¨ α− → y1 + b(¨ α + ¨ β)− → y2 −a ˙ α2− → x1 −b( ˙ α + ˙ β)2− → x2 – 5/5 – uploads/s1/ corrige-ds-g2.pdf
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- Publié le Sep 24, 2022
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