Corriger du contrôle math exp ex 1 d divise n²-3n+6 et n-1, donc d divise tt co
Corriger du contrôle math exp ex 1 d divise n²-3n+6 et n-1, donc d divise tt combinaison linéaire des deux (n²-3n+6)-n(n-1)=n²-3n+6-n²+n=-2n+6 d divise n-1 et -2n+6, donc d divise tout combinaison linéaire de (n-1) et de (-2n+6) 2(n-1)(-2n+5)=2n-2n-2+6=4 Les diviseurs de 4 sont : 4,2,1,-1,-2,-4 ; or d est positif donc les valeurs possibles sont 1,2 et 4. Ex 3 4x²=9y²-17 4x²-9x²=-17 (2x-3y)²=-17 x et y éléments de Z donc 2x-3y et 2x+3y éléments de Z (diviseurs associés de -17) les diviseurs de -17 sont : -17,-1,1,17 donc (E) : {( 2 x−3 y=−17 2 x+3 y=1 )ou( 2 x−3 y=−1 2x+3 y=17 )ou( 2x−3 y=1 2x+3 y=−17)ou( 2 x−3 y=17 2x+3 y=−1)1er : 4x=-16 -6y=-18 x=-4 y=3 2ème : 4x=16 -6y=-18 x=4 y=3 3ème : 4x=-16 -6y=-18 x=-4 y=-3 4ème : 4x=16 -6y=1 x=4 y=-3 (combinaison d’équation) Ex2 : initialisation : n=1U1=5*2+1=8 P1 vraie Hérédité : supposons qu’il existe une valeur de n telle que P(n) est vraie. montrons que P(n+1) vraie Un+1=5n+1+2*3n+1 Un+1=5*5n+2*3n+1 on a 5n=un-2*3n-1-1 un+1=5(un-2*3n-1)+2*3n+1 un+1=5un-10*3n-1-5+2*3n-1+1 =5un+2*3n-1(3-5)-4 =5un-2*2*3n-1-4 =5un-4(3n-1+1) d’après P(n) Un est divisible par 8 donc un est divisible par 8 Pour n=<1 ; 3n-1 est impaire, or l’addition de deux nombres impairs s’écrit : 3n-1+1=2k donc 4(3n-1+1)=8k divisible par 8 donc un+1=est divisible par 8 donc P(n+1) vraie Conclusion : P est vrai pour n=1, pour P(n) et P(n+1), donc P est vraie n élément de N*. Exo 4 : un=(4n-1)²-3+2(-3)n pour tout n dans N un+1+3un=(4(n+1)-1)²-3+2(-3)n+1+3((4n-1)²-3+2(-3)n) un+1+3un=16n²+24n+9-3+2(-3)n+1+48n²-24n-9+3*2(-3)n un+1+3un=64n²+2(-3)n+1+3*2(-3)n =64n²+2(-3)n+1-2*-3*(-3)n =64n²+2(-3)n+1-2(-3)n+1 =64n² Récurrence : initialisation Pn un div par 64 u0=0 divisible par 64 Hérédité : supposons n pour Pn vraie un+1=64n²+3un d’après l’hérédité un div par 64 donc -3un divisible par 64 donc hérédité prouvée uploads/s1/ corriger-du-controle-math-exp.pdf
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- Publié le Mar 25, 2022
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