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Page 1 / 2 REPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L’EDUCATION LYCEE SECONDAIRE MATE

Page 1 / 2 REPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L’EDUCATION LYCEE SECONDAIRE MATEUR DEVOIR DE DEVOIR DE DEVOIR DE DEVOIR DE CONTRÔLE N 1 CONTRÔLE N 1 CONTRÔLE N 1 CONTRÔLE N 1 - - - - ANNEE ANNEE ANNEE ANNEE SCOL SCOL SCOL SCOLAIRE AIRE AIRE AIRE : 2011 : 2011 : 2011 : 2011- - - -12 12 12 12 SECTION SECTION SECTION SECTION : : : : SCIENCES EXPERIMENTALES EPREUVE EPREUVE EPREUVE EPREUVE : : : : MATHEMATIQUES DUREE DUREE DUREE DUREE : : : : 2h COEFFICIENT COEFFICIENT COEFFICIENT COEFFICIENT : : : : 3 PROFESSEUR PROFESSEUR PROFESSEUR PROFESSEUR : : : : HATEM EDDHAOUI ‘‘Il est recommandé de soigner la rédaction et la présentation de la copie’’ Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1 Exercice 1 (3 points) (3 points) (3 points) (3 points) Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse : 1) Lorsque θ varie dans[ ] 0,π , le point M d’affixe iθ i+2e varie sur un cercle. 2) La suite U définie, pour tout n ∈ ( ) ℕ n n -1 , par :u = , n n’a pas de limite. 3) Si →∞ ∞ x + lim f(x) = - , et si, pour tout ≤ x 2, g(x) = 4x - 2- x, alors →∞ ∞ x + lim gοf(x) = + . Exercice 2 (5 Exercice 2 (5 Exercice 2 (5 Exercice 2 (5 points) points) points) points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O, u, v). Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, -3i et –i. Pour tout point M du plan d’affixe z (z≠ -3i), on associe le point M’ d’affixe z’ définie par : ′ iz-1 z = . z+3i 1) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit réel. 2) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que ′ z =1. 3) a) Vérifier que (z’ – i)(z + 3i) = 2. b) En déduire que AM’.BM = 2 et que [ ] ′ ≡ (υ,ΑΜ )+(υ,ΒΜ) 0 2π . 4) Soit le point E d’affixe π i 4 E z = -3i-2e . a) Calculer BE. b) Déterminer (u,BE). Page 2 / 2 Exercice 3 Exercice 3 Exercice 3 Exercice 3 (6 (6 (6 (6 points) points) points) points) A/ Soit la fonction f définie sur ℝ par :  〈   ≤ ≤    〉  2 3 2 x + x -1 si x -1 f(x) = 4x +6x -1 si -1 x 0 1-cos(πx) -1 si x 0 x . 1) a) Calculer →−∞ xlim f(x). b) Montrer que, pour tout x > 0, ≤ ≤2 -1 f(x) -1. x c) En déduire →+∞ xlim f(x). 2) Etudier la continuité de f en (-1) et en 0. B/ Soit la fonction g définie sur ℝ par : g(x) = 2 x -1- 4. 1) Déterminer le domaine de continuité de g. 2) Soit h la restriction de g à l’intervalle [ [. ∞ 1 , + a) Montrer que h est strictement croissante sur[ [. ∞ 1 , + b) Déterminer h ([ [ ∞ 1 , + ). 3) Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une unique solution sur [ ]. 4 , 5 Exercice 3 (6 points) Exercice 3 (6 points) Exercice 3 (6 points) Exercice 3 (6 points) Soit ( n U ) la suite réelle définie surℕpar :      0 n n+1 n U = 4 4U -3 U = U 1) a) Montrer que, pour tout n ∈ℕ, on a : n U ≥ 3. b) Montrer que ( n U ) est croissante. c) En déduire que ( n U ) est convergente et calculer sa limite ℓ. 2) a) Montrer que, pour tout n ∈ℕ, on a : ≤ n+1 n 1 U -3 (U -3). 3 b) En déduire, par récurrence, que, pour tout ∈ℕ, on a :   ≤    n n 1 U -3 . 3 c) Retrouver alors la limite ℓ de ( n U ). uploads/s1/ devoir-de-contr-le-n-1-math-bac-sciences-exp-2011-2012-mr-hatem-eddhaoui.pdf