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Exercice n° 1 Soit f la fonction définie sur ( 5 points )  par: 2 x 1 1 si x 0

Exercice n° 1 Soit f la fonction définie sur ( 5 points )  par: 2 x 1 1 si x 0 f(x) sin(x) x si . x 0 x  + − ≤  =  −    On désigne par f C sa représentative dans un repère orthonormé (O,i,j)  . 1) Montrer que f est continue en 0. 2) a- Montrer que la droite Δ : y x 1 = −− est une asymptote oblique à f C au voisinage de −∞. b- Montrer que xlim f(x) 1 →+∞ = −. c- Calculer f0f( π) et xlim f0f(x) →−∞ . d- Montrer que 2f(x) 1 0 + = admet au moins une solution dans π ] , π[ 2 . 3) Soit g la fonction définie sur π ] ,0] 2 − par: f(tan(x))π si x 0 tan(x) 2 g(x) 0 si x=0. .  −  =      a- Montrer que pour tout π x ] ,0[ 2 ∈− , 1 cos(x) g(x) sin(x) − = . b- En déduire que g est continue à gauche en 0. Exercice n° 2 I) On Considère l’équation (E) : ( 7 points ) 3 z 2z² 2z 1 0 + + + = . 1) a- Vérifier que 1 − est une solution de (E). b- Résoudre dans  l’équation (E). 2) On note P, Q et K les points d’affixes respectives 1 3 1 3 p i , q = i et k =-1 2 2 2 2 = − + − − . a- Montrer que P , Q et K appartiennent au cercle C de centre O et de rayon 1. b- Déterminer l’ensemble Δ des points d’affixes z tels que z z 1 = + . c- Montrer que P et Q sont les points d’intersection de C et Δ . d- Construire alors P et Q. II) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v)  , on considère trois points A , B et C d’affixes respectives trois nombres complexes non nuls a,b et c. On suppose que l’origine O du repère est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC. 1) a- Montrer que a b c = = . En déduire que b c 1 a a = = . b- Montrer que a b c 0 + + = . c- Montrer que b b 1 1 a a = + = . d- En déduire en utilisant la partie I) que b p a = b ou q a = . Lycée Cité El-amel Devoir de contrôle n°1 Année scolaire : 2017/2018 Sola Saidi & Mokhtar Ouardani ( Mathématiques ) Classes : 4ème Maths 1 & 2Ali A 2) Dans cette question on admet que b p a = c et q a = . a- Montrer que π i 3 q 1 e p 1 − = − . b- Montrer que q 1 c a p 1 b a − − = − − . c- Déduire de deux questions précédentes la nature du triangle ABC. Exercice n° 3 On considère la suite ( 8 points ) n (u ) définie sur  par: 0 n n 1 n u 0 u 6 u , n u 2 + =   +  = ∀ ∈  +  . 1) Montrer que pour tout n∈, n u 0 ≥ . 2) Soit f la fonction définie sur [0, [ + ∞ par: 16 f(x) 3 3(3x 1 7 0) = − + . a- Vérifier que pour tout n∈, n 2 n u f(u ) + = . b- Montrer par récurrence que pour tout n∈, 2n 2n 1 u 2 u + ≤ ≤ . c- En déduire que si n (u ) converge alors n nlim u 2 →+∞ = . 3) a- Montrer que pour tout n∈, n 1 n 1 u 2 u 2 2 + − ≤ − . b- En déduire que pour tout n∈, n n 1 1 u 2 2 − − ≤ . c- Calcul alors n nlim u →+∞ . 4) Soit les suites n (a ), et n (b ) définies sur ∗  par: n n 2k k 1 1 a u , n = = ∑ n n 2k 1 k 1 1 et b u n + = = ∑ a- Montrer que pour tout entier naturel k on a: k 2k 2k 1 k 2 1 2 u 2 et 2 u 2 4 4 +   − ≤ ≤ ≤ ≤ +     . b- En déduire que n n n n lim a lim b 2 →+∞ →+∞ = = . uploads/s1/ devoir-de-controle-n01-math-bac-mathematiques-2017-2018-mr-s-sola.pdf