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La méthode des différences finies Bruno Blais Professeur Adjoint Département de

La méthode des différences finies Bruno Blais Professeur Adjoint Département de Génie Chimique École Polytechnique 10 mars 2019 Aperçu Les équations aux dérivées partielles en ingénierie Différences finies pour les EDPs Résolution du problème de transfert de chaleur transitoire Résolution par la méthode d’Euler Explicite - 1D Résolution par la méthode d’Euler Implicite - 1D Résolution par la méthode d’Euler Explicite - 2D Résolution par la méthode d’Euler Implicite - 2D Problèmes stationnaires Conclusion et limitations Bruno Blais FDM 2 / 98 Aperçu Les équations aux dérivées partielles en ingénierie Différences finies pour les EDPs Résolution du problème de transfert de chaleur transitoire Résolution par la méthode d’Euler Explicite - 1D Résolution par la méthode d’Euler Implicite - 1D Résolution par la méthode d’Euler Explicite - 2D Résolution par la méthode d’Euler Implicite - 2D Problèmes stationnaires Conclusion et limitations Bruno Blais FDM 3 / 98 EDPs en ingénierie Les équations aux dérivées partielles sont des équations différentielles où les solutions sont des fonctions inconnues qui dépendent de plusieurs variables Exemples • Le profil de température d’un objet qu’on expose à l’air froid dépend de l’espace (la position dans l’objet x = [x, y, z]T) et du temps (t) • La vitesse d’un fluide dépend de sa position dans l’espace Généralement les EDP font intervenir des coordonnées spatiales et/ou temporelles. Bruno Blais FDM 4 / 98 Exemples d’EDPs Équation de la chaleur (Équation de diffusion) Décris la température (T(x, t)) d’un corps rigide en prenant en compte la conduction thermique Équation d’advection-diffusion transitoire Décris une quantité (température, concentration) dans l’espace et le temps en prenant en compte le transport d’énergie par advection (transport) et par diffusion (ex. : conduction) Équation de Navier-Stokes Décris le mouvement de fluides (air, liquide). Deux formes : • Navier-Stokes Incompressible • Navier-Stokes Compressible Bruno Blais FDM 5 / 98 Chaleur (diffusion) stationnaire L’équation de la chaleur en 3D et en régime stationnaire s’écrit : ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 + ∂2T ∂z2 = S (1) Questions • Quelle est la différence entre ∂2T ∂x2 et d2T dx2 ? • Quelle serait cette équation en 2D ? En 1D ? • Quel type d’opérateur vectoriel avons-nous ici ? • Quelles sont les unités de S ? • Quelle est la signification physique de S ? Bruno Blais FDM 6 / 98 Chaleur (diffusion) stationnaire L’équation de la chaleur peut s’écrire de plusieurs manières ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 + ∂2T ∂z2 = S (2) Vous avez vu en calcul II que cet opérateur mathématique était le laplacien. On pourrait donc écrire à nouveau cette équation sous la forme : △T = S (3) En Amérique du Nord, on note plutôt le laplacien : ∇2T = S (4) Bruno Blais FDM 7 / 98 L’opérateur ∇ Le symbole ∇est souvent utilisé pour exprimer le gradient d’une fonction ∇f(x, y) = [ ∂f ∂x ∂f ∂y ] (5) ∇est un opérateur différentiel vectoriel : ∇= [ ∂ ∂x ∂ ∂y ] (6) De cet opérateur on déduit les opérations vectorielles classiques : divu = ∇· u (7) △c = (∇· ∇)c = ∇2c (8) gradf = ∇f (9) Bruno Blais FDM 8 / 98 D’où vient l’équation de la chaleur ? Bilan de chaleur sur un élément en 2D Bilan de flux de chaleur : ∆y (qx|x −qx|x+∆x) + ∆x (qy|y −qy|y+∆y) = 0 Après réarrangement et passage à la limite on obtient : ∂qx ∂x + ∂qy ∂y = 0 (10) Mais comment exprimer le flux de chaleur à partir de la température ? Bruno Blais FDM 9 / 98 Expression du flux de chaleur ∂qx ∂x + ∂qy ∂y = 0 (11) La loi de Fourier pour la diffusion thermique indique que le flux de chaleur des parties chaudes aux parties froides est proportionnel au gradient de la température et à la conduc- tivité thermique q = [qx qy ] = −k∇T = −k [ ∂T ∂x ∂T ∂y ] (12) On obtient donc en 2D : ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 = 0 (13) Bruno Blais FDM 10 / 98 Extension en 3D La même procédure (le bilan) permet d’établir l’équation de la chaleur en 3D ∂qx ∂x + ∂qy ∂y + ∂qz ∂z = 0 (14) La loi de Fourier : q =   qx qy qz  = −k∇T = −k   ∂T ∂x ∂T ∂y ∂T ∂z   (15) Et l’équation de la chaleur en 3D : ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 + ∂2T ∂z2 = 0 (16) Cette équation est-elle parabolique, hyperbolique ou elliptique ? Bruno Blais FDM 11 / 98 Quel est l’élément manquant ? ∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 = 0 (17) Cette équation est valable à l’intérieur du do- maine Ωseulement. Pour la résoudre il vous faut des conditions limites sur le contour Γ ! Exemples de conditions limites • Dirichlet - Température imposée • Neumann - Flux imposé • Robin - Flux dépendant de la température Bruno Blais FDM 12 / 98 Condition limite de Dirichlet Dans une condition limite de Dirichlet, la va- leur de la température est connue T(x, y, t) = f(x, y, t) Où f(x, y, t) est une fonction connue. Souvent les conditions limites ne seront pas dépendante du temps et f(x, y, t) = f(x, y). Ex : T(x = 0, y) = 25 °C Bruno Blais FDM 13 / 98 Condition limite de Neumann Dans une condition limite de Neumann, la va- leur du flux de chaleur est connue : −k∇T(x, y, t) · n = q(x, y, t) Où q(x, y, t) est une fonction connue et n est le vecteur normal de la paroi. Pour une paroi de normale ex, nous obtiendrions : −k∂T(x, y, t) ∂x = q(x, y, t) Une condition limite qu’on voit souvent est la condition de paroi isolée : −k∂T(x = 0, y) ∂x = 0 Bruno Blais FDM 14 / 98 Condition limite de Robin Dans une condition limite de Robin, la valeur du flux de chaleur dépend de la température. Un exemple commun est la loi de refroidissement de Newton : −k∇T(x, y, t) · n = h(T(x, y, t) −T∞) Où T∞est la température extérieure et h le coefficient de convection. Ces deux coefficients sont connus, mais pourraient être des fonctions de l’espace et du temps. Pour une paroi de normale ex, nous obtiendrions : −k∂T(x, y, t) ∂x = h(T −T∞) Bruno Blais FDM 15 / 98 Chaleur (diffusion) transitoire Un bilan similaire à ce que nous avons vu précédemment permet d’établir l’équation de la chaleur transitoire. ∂ρCpT ∂t = ∂ ( k∂T ∂x ) ∂x + ∂ ( k∂T ∂y ) ∂y (18) ∂ρCpT ∂t = ∇· (k∇T) (19) Si les propriétés physique du matériau sont constantes, l’équation de la chaleur devient : ∂T ∂t = α (∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 ) (20) Où α = k ρCp . Quelles sont les unités de α ? Cette équation est-elle parabolique, hyperbolique ou elliptique ? Bruno Blais FDM 16 / 98 Advection-diffusion de la chaleur Cette équation permet de calculer le profil de température permanent dans un liquide en mouvement avec une vitesse u. Par un bilan on peut établir l’équation d’advection-diffusion. Le bilan comprend une composante de diffusion et une composante de transport. En 2D elle prend la forme : ρCp ( ux ∂T ∂x + uy ∂T ∂y ) | {z } Advection = k (∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 ) | {z } Diffusion (21) Cette équation est-elle parabolique, hyperbolique ou elliptique ? Bruno Blais FDM 17 / 98 Advection-diffusion transitoire Cette équation permet de calculer le profil de température transitoire dans un liquide en mouvement avec une vitess u. En 2D elle prend la forme : ρCp ∂T ∂t | {z } Inertie + ρCp ( ux ∂T ∂x + uy ∂T ∂y ) | {z } Advection = k (∂2T ∂x2 + ∂2T ∂y2 ) | {z } Diffusion (22) La même application peut s’appliquer à n’importe quel scalaire passif (concentration d’une espèce, etc.). Par exemple pour la concentration : ∂C ∂t |{z} Inertie + ux ∂C ∂x + uy ∂C ∂y | {z } Advection = D (∂2C ∂x2 + ∂2C ∂y2 ) | {z } Diffusion (23) Bruno Blais FDM 18 / 98 Navier-Stokes Incompressibles Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement de fluides (gaz, liquides) lorsque les effets de compressibilité ne sont pas important. Elles permettent autant de prédire la traînée sur une voiture, le vol d’un oiseau, l’eau suivant un bateau, le mouvement dans un mélangeur, la fumée sortant d’une cheminée... ∂ux ∂x + ∂uy ∂y = 0 (24) ρ∂ux ∂t + ρux ∂ux ∂x + ρuy ∂ux ∂y = −∂p ∂x + µ (∂2ux ∂x2 + ∂2ux ∂y2 ) + ρgx (25) ρ∂uy ∂t + ρux ∂uy ∂x + ρuy ∂uy ∂y = −∂p ∂y + µ (∂2uy ∂x2 + ∂2uy ∂y2 ) + ρgy (26) Bruno Blais FDM 19 / 98 Navier-Stokes Incompressibles Ces équations sont non-linéaires. Il n’est pas prouvé qu’elles admettent une uploads/s1/ equation-de-chaleur-1d-2d-exercices.pdf