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1ère S1 Contrôle du lundi 10 décembre 2012 (30 min) Prénom et nom : ……………………………

1ère S1 Contrôle du lundi 10 décembre 2012 (30 min) Prénom et nom : …………………………………………… Note : …….. / 20  Ne rien écrire sur le sujet en dehors de ce qui est demandé.  Tirer tous les traits de fractions à la règle. I. (9 points) Calculer les dérivées des fonctions suivantes. On effectuera les calculs au brouillon. Donner l’expression de la dérivée sous la forme précisée à chaque fois. 1°)  3 1 f x x   '( ) .................................................................. f x  2°)    2 ( ) 2 3 4 1 f x x x x     '( ) .................................................................. f x  * 3°) 2 2 5 ( ) 3 x f x x x     '( ) .................................................................. f x  ** 4°)   6 ( ) 1 2 f x x   '( ) .................................................................. f x  *** 5°)  2 5 3 1 f x x   '( ) .................................................................. f x  ** * Expression développée, réduite et ordonnée. ** Numérateur développé réduit ; dénominateur factorisé. *** Expression factorisée. II. (3 points) On considère la fonction f : x  2 4 x x    . On note C sa courbe représentative dans un repère   O, , i j  . O C A 1°) Calculer ' f (x).  x   ' f (x) = ……………………………….. (écrire une seule expression) 2°) On note T la tangente à C au point A d’abscisse 0. Compléter la phrase : Le coefficient directeur de T est égal à : ……… (écrire une seule valeur). Tracer T sur le graphique ci-dessus (au stylo ou au crayon) sous la forme d’une double flèche.  i  j III. (8 points) On considère la fonction f : x  10 7 x x   définie sur * et l’on note C sa courbe représentative dans un repère   O, , i j  . On donne sur le graphique ci-dessous la partie de la courbe C sur l’intervalle ]0 ; + [. Les points A et B ont pour coordonnées respectives (2 ; 0) et (5 ; 0) ; 1 T et 2 T sont les tangentes à C en A et B. O C A B T1 T2 1°) Lire graphiquement les coefficients directeurs de 1 T et 2 T . Le coefficient directeur de 1 T est égal à : ……….. . Le coefficient directeur de 2 T est égal à : ……….. . 2°) Calculer ' f (x).  x  * ' f (x) = ……………………………….. (écrire une seule expression) 3°) Grâce à la question 2°), retrouver par le calcul les résultats de la question 1°). ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..…………………………………………………………………………………………………….  i  j 4°) Déterminer les équations réduites de 1 T et 2 T . 1 T : ………………………………….. 2 T : ………………………………….. 5°) La tangente à C au point E sur le graphique ci-dessous est horizontale. O C E Déterminer les coordonnées de E (valeurs exactes sous la forme la plus simple possible). E(……………. ; ………….) Reporter les valeurs des coordonnées sur les axes et tracer la tangente en E sous la forme d’une double flèche. 6°) Question bonus à traiter à la fin s’il reste du temps. Les tangentes 1 T et de 2 T se coupent en un point I. Calculer les coordonnées de I. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..……………………………………………………………………………………………………. ………………..…………………………………………………………………………………………………….  i  j Corrigé du contrôle du 10-12-2012 I. Calculs de dérivées 1°)  3 1 f x x   '( ) 3 f x  2°)    2 ( ) 2 3 4 1 f x x x x     2 '( ) 6 10 14 f x x x    3°) 2 2 5 ( ) 3 x f x x x       2 2 2 2 10 1 '( ) 3 x x f x x x       4°)   6 ( ) 1 2 f x x     5 '( ) 12 1 2 f x x   5°)  2 5 3 1 f x x     2 30 '( ) 3 1 x f x x   Calculs détaillés : 1°)  3 1 f x x   '( ) 1 3 0 f x   3  2°)    2 ( ) 2 3 4 1 f x x x x         2 '( ) 2 4 1 2 3 2 4 f x x x x x         2 6 10 14 x x    3°) 2 2 5 ( ) 3 x f x x x           2 2 2 2 3 2 5 2 1 '( ) 3 x x x x f x x x               2 2 2 2 2 2 6 4 12 5 3 x x x x x x         (sous-dérivées à calculer)   2 2 2 2 10 1 3 x x x x       4°)   6 ( ) 1 2 f x x      5 '( ) 6 2 1 2 f x x       5 12 1 2x   5°)  2 5 3 1 f x x     2 2 3 2 '( ) 5 3 1 x f x x            (sous-dérivée au dénominateur à calculer)   2 2 30 3 1 x x   II. f : x  2 4 x x    O C A T  i  j 1°) Calculons ' f (x).  x   '( ) 2 1 f x x   2°) T : tangente à C au point A d’abscisse 0 Le coefficient directeur de T est égal à '(0) 2 0 1 1 f    . On peut effectuer le tracé de T sur le graphique sous la forme d’une double flèche. On vérifie ce tracé sur la calculatrice graphique. III. f : x  10 7 x x   définie sur * C : courbe représentative dans un repère   O, , i j  O C A B T1 T2 1°) Lectures graphiques des coefficients directeurs de 1 T et 2 T . Le coefficient directeur de 1 T est égal à : 3 2  . Le coefficient directeur de 2 T est égal à : 3 5 . Attention à bien prendre les bons points qui permettant une lecture précise.  i  j 2°) Calculons ' f (x).  x  * 2 10 '( ) 1 f x x   3°) Retrouvons par le calcul les résultats de la question 1°). On calcule le coefficient directeur des tangentes grâce à la dérivée qui vient d’être calculée ( 2 10 '( ) 1 f x x  ). 2 10 10 5 3 '(2) 1 1 1 2 4 2 2 f        2 10 10 2 3 '(5) 1 1 1 5 25 5 5 f        On retrouve bien les valeurs qui ont été lues graphiquement. 4°) Déterminons les équations réduites de 1 T et 2 T . On applique la formule permettant de trouver l’équation d’une tangente   '( ) ( ) y f a x a f a    . 1 T : 3 ( 2) 0 2 y x    3 3 2 y x   2 T :   3 5 0 5 y x    3 3 5 y x   1 T : 3 3 2 y x   2 T : 3 3 5 y x   On peut vérifier ces équations grâce à la calculatrice. 5°) La tangente à C au point E est horizontale. O C E Déterminons les coordonnées de E. La tangente en E est horizontale donc son coefficient directeur est nul. On cherche donc en quels réels la dérivée s’annule. On résout l’équation '( ) 0 f x  (1). (1) est successivement équivalente à : 2 10 1 0 x   2 10 x  10 x  ou 10 x  Comme E appartient à la partie de la courbe C sur ]0 ; + [, on a : E uploads/s3/ 1ere-s-controle-10-12-2012.pdf