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UNIVERSITE D’ABOMEY-CALAVI CHAIRE INTERNATIONALE EN PHYSIQUE MATHEMATIQUE ET AP

UNIVERSITE D’ABOMEY-CALAVI CHAIRE INTERNATIONALE EN PHYSIQUE MATHEMATIQUE ET APPLICATIONS (CIPMA Chaire UNESCO) EPREUVE DE MODELES LINEAIRES Niveau: Master (STATISTIQUE APPLIQUEE AU VIVANT) Ann´ ee acad´ emique: 2018-2019 Dur´ ee: 3h Tout document est interdit. Calculatrice autoris´ ee. Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction. NB: Le corrig´ e-type sera disponible apr` es la composition ` a l’adresse: sites.google.com/view/nicodemeatchade/ Enseignant: Dr ATCHADE Nicod` eme 1 Questions de compr´ ehension du cours. 1. D´ eﬁnir les notions suivantes: 1.1. Mod` ele lin´ eaire g´ eneralis´ e; 1.2. Matrice de design; 1.3. Variance inﬂation factor (V IF). 2. Citer tout en distinguant les hypoth` eses stochastiques faibles des hypoth` eses fortes du mod` ele lin´ eaire. 3. Quelle est la particularit´ e du test d’homosc´ edasticit´ e de Goldfeld-Quandt ? 4. Soit le mod` ele: yi = β0 + β1xi + εi. Montrer que: cov( b β1, y) = 0; var( b β1) = σ2 n(x2 −(x)2) . En d´ eduire que cov( b β1, b β0) = −xσ2 n(x2 −(x)2) . 5. Soit le mod` ele: y = Xβ + ε. Les variables al´ eatoires Yi sont suppos´ ees ind´ ependantes et de loi gaussienne. Apr` es avoir donn´ e la vraisemblance et la log-vraisemblance de l’´ echantillon y = (y1; ...; yn), retrouver les expressions des param` etres β et σ2. 6. Quel est l’objectif de l’utilisation de la m´ ethode des moindres carr´ es g´ en´ eralis´ es ? 1 7. Soit le mod` ele: y = Xβ + ε. O` u E(ε = 0), var(ε) = σ2 εΩ. Admettant que X’Ω−1X est inversible estimer β par la m´ ethode des moindres carr´ es g´ en´ eralis´ es en minimisant le crit` ere: QG(β) = (y −Xβ) ′Ω−1(y −Xβ). 2 Exercice 1. Mod` eles lin´ earisables et dummy variables. 1. Apr` es avoir rappel´ e la formule de la transformation de Box-Cox, donner son expression pour λ = −1, λ = 1 et λ →0. 2. La d´ ependance de la production y des facteurs x1, x2 et x3 est donn´ ee par le mod` ele: lnb y = 3.912 + 0.262x1 + 1.6lnx2 + 0.642x3 Ecrire le mod` ele sous sa forme initiale (non lin´ earis´ ee) et interpr´ eter les coeﬃcients. 3. Quelle est l’utilit´ e du test de Chow ? 4. Soit le mod` ele: b y = 6800.9 + 0.189x + 0.120xz + 8970.5z Les statistiques de Student sont respectivement 3.80; 4.50; 2.45 et 2.75. y- impˆ ots des microentreprises (millions de f.u.); x- production (millions de f.u.); z- dummy variable prenant la valeur 1 si l’entreprise est situ´ ee ` a Cotonou et 0 sinon. On notera n = 48, ttab = 2.00. Interpr´ eter les coeﬃcients du mod` ele. 3 Exercice 2. Mod` eles RLS. On consid` ere le mod` ele de r´ egression : yi = θ0 + θ1xi,1 + θ2xi,2 + εi, 1 ≤i ≤n, les xi,j ´ etant des variables explicatives observ´ ees du mod` ele et les εi des v.a.i.i.d. de loi N(0; σ2). On note: X =       1 x1,1 x1,2 . . . . . . . . . 1 xn,1 xn,2       , Y =       y1 . . . yn       ,⇒X′X =   30 20 0 20 20 0 0 0 10  , X′Y =   15 20 10  , Y ′Y = 59.5. 1. D´ eterminer n, la moyenne de (xi,2)i, le coeﬀcient de corr´ elation des (xi,1)i et des (xi,2)i. 2. Calculer num´ eriquement les estimateurs par moindres carr´ es ordinaires b θ et b σ2 de θ = (θ0, θ1, θ2)’ et de σ2. On montrera que ∥Y −Xθ∥2 = ∥Y ∥2 −∥Xθ∥2. 2 3. Donner pour θ1 un intervalle de conﬁance ` a 95%. Tester ´ egalement l’hypoth` ese θ2 = 0.8 au niveau 10%. On utilisera des valeurs approch´ ees des quantiles d’une loi de Student q27(0.975) = 2 et q27(0.95) = 1.65. 4. D´ eterminer la moyenne empirique des yi et en d´ eduire le coeﬀcient de d´ etermination. Bonne chance ! 3 uploads/s3/ acfrogddhlw9dw-x3ucri2jzq-xgzjbr68ffmhikziydz4qkovts-btx2qt7bk7bih4tpvo1qtfd2bur5trdeljs5lvj0tieaabug-xmuazqbc38tswg1k4idusqiwlkf7mlriaxd1wj3dp2hbj4.pdf