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Problèmes aux limites linéaires elliptiques Frédéric LEGOLL Ecole des Ponts - P

Problèmes aux limites linéaires elliptiques Frédéric LEGOLL Ecole des Ponts - ParisTech 1 février 2019 http://cermics.enpc.fr/∼legoll/edpef.html 1 - Exemples de problèmes aux limites elliptiques 1 - Exemples de problèmes aux limites elliptiques 3 . De nombreux phénomènes de la physique s’écrivent sous la forme d’équations aux dérivées partielles: • Electrostatique: équations de Maxwell div E = ρ, E = −∇V d’où −∆V = ρ. • Mécanique des ﬂuides: équation de Navier-Stokes ∂tu + (u · ∇)u = −∇p + ν∆u + f, div u = 0 ce qui donne, après simpliﬁcation, −ν∆u + ∇p = f, div u = 0. • Equilibre d’une membrane élastique: équation de l’élasticité linéaire x u(x) e f(x) e z z Déplacement vertical u(x) ez sous sollicitation verticale f(x) ez: −γ∆u = f (où γ est le coefﬁcient de tension) 1 - Exemples de problèmes aux limites elliptiques 4 . Pour étudier ces problèmes, on procède en trois étapes: • Etape 1: sans se soucier de rigueur mathématique, on commence par chercher une formulation faible (dite aussi formulation variationnelle) du problème, c’est à dire à écrire le problème sous la forme (I) ( Chercher u ∈V tel que ∀v ∈V, a(u, v) = b(v) (Principe des travaux virtuels) où – V est un espace de fonctions (en l’occurence un espace de Sobolev), – a(·, ·) est une forme bilinéaire sur V × V , – b une forme linéaire sur V . • Etape 2: On établit rigoureusement l’équivalence entre le problème (I) et un problème aux limites (EDP + Conditions aux Limites). • Etape 3: En utilisant le théorème de Lax-Milgram (hypothèses sur V , a et b), on montre que le problème (I) est bien posé. 2 - Rappels: le théorème de Lax-Milgram 2 - Théorème de Lax-Milgram 6 . Soit V un espace de Hilbert. Une forme linéaire b sur V est continue s’il existe C > 0 tel que ∀v ∈V, |b(v)| ≤C∥v∥V . Une forme bilinéaire a sur V × V est dite • continue s’il existe M > 0 tel que ∀(u, v) ∈V × V, |a(u, v)| ≤M ∥u∥V ∥v∥V . • coercive s’il existe une constante α > 0 telle que ∀u ∈V, a(u, u) ≥α ∥u∥2 V . • symétrique si ∀(u, v) ∈V × V, a(u, v) = a(v, u). 2 - Théorème de Lax-Milgram 7 . Théorème de Lax-Milgram. Soit V un espace de Hilbert, a une forme bil- inéaire sur V × V , continue et coercive et b une forme linéaire continue sur V . Alors le problème ( Chercher u ∈V tel que ∀v ∈V, a(u, v) = b(v) admet une solution et une seule. Dans le cas où la forme bilinéaire a est symétrique, l’unique solution u de ce problème est également l’unique solution du problème de minimisation suivant: Chercher u ∈V tel que J(u) = inf {J(v), v ∈V } , où la fonctionnelle J(v) (dite fonctionnelle d’énergie) est déﬁnie par J(v) = 1 2a(v, v) −b(v). 2 - Théorème de Lax-Milgram 8 . Soit V un espace de Hilbert, a une forme bilinéaire et continue sur V × V , et b une forme linéaire continue sur V . On considère le problème (I) ( Chercher u ∈V tel que ∀v ∈V, a(u, v) = b(v). • Si a est coercive, ce problème est bien posé (théorème de Lax-Milgram). • Mais l’hypothèse de coercivité n’est pas forcément nécessaire! En dimension ﬁnie, soit V = Rn, A une matrice n × n et B ∈Rn. On pose ∀u, v ∈V, a(u, v) = vTAu, b(v) = vTB. Pour simpliﬁer, A symétrique, {λi}1≤i≤n ses valeurs propres. Le problème (I) s’écrit: Chercher u ∈Rn tel que ∀v ∈Rn, vTAu = vTB ce qui revient à Au = B. Coercivité de a: ∀u, uTAu ≥αuTu, équivalent à λi ≥α > 0 pour tout i. CNS d’inversibilité de A: λi ̸= 0 pour tout i. 3 - Formulation faible des problèmes elliptiques 3 - Formulation faible 10 . Intégration par parties en dimension d x n(x) e Ω x2 e x1 1 2 Formule d’IPP: Z Ω ∂u ∂xi v = Z ∂Ω u v (n · ei) − Z Ω u ∂v ∂xi Formule de Green: pour tout u ∈H2(Ω) et v ∈H1(Ω), − Z Ω (∆u) v = − Z ∂Ω ∂u ∂n v + Z Ω ∇u · ∇v avec ∂u ∂n = ∇u · n 3 - Formulation faible 11 . Un premier exemple Pour λ > 0, on considère le problème ( −∆u + λu = f dans Ωouvert borné de Rd, u = 0 sur ∂Ω. Etape 1. On commence par rechercher une formulation faible possible sans se soucier de rigueur mathématique: • On multiplie l’EDP par une fonction v et on intègre sur Ω: − Z Ω (∆u) v + λ Z Ω u v = Z Ω f v • On intègre par parties pour abaisser au maximum l’ordre de l’espace de Sobolev sous-jacent et incorporer les conditions aux limites: Z Ω f v = − Z Ω (∆u) v + λ Z Ω u v = − Z ∂Ω ∂u ∂n v + Z Ω ∇u · ∇v + λ Z Ω u v 3 - Formulation faible 12 . Z Ω f v = − Z ∂Ω ∂u ∂n v + Z Ω ∇u · ∇v + λ Z Ω u v • Donc, pour v nulle au bord, on a Z Ω ∇u · ∇v + λ Z Ω u v = Z Ω f v. • Ceci conduit à proposer comme formulation faible (FV) ( Chercher u ∈V tel que ∀v ∈V, a(u, v) = b(v) avec V = H1 0(Ω), a(u, v) = Z Ω ∇u · ∇v + λ Z Ω u v, b(v) = Z Ω f v. Pour que tous les termes soient bien déﬁnis, on suppose que f ∈L2(Ω) et u ∈H1(Ω). • On peut maintenant préciser les espaces fonctionnels dans le problème aux limites: (EDP) Chercher u ∈H1(Ω) tel que ( −∆u + λu = f dans D′(Ω), u = 0 sur ∂Ω. 3 - Formulation faible 13 . Etape 2. On montre ensuite rigoureusement que le problème aux limites (EDP) est bien équivalent à sa formulation faible (FV). • Montrons que toute solution de (FV) est solution de (EDP). Soit u une solution de (FV). On a bien u ∈H1(Ω) et u = 0 sur ∂Ω. De plus, pour tout φ ∈D(Ω), on a −⟨∆u, φ⟩= − d X i=1 ⟨∂2u ∂x2 i , φ⟩= d X i=1 ⟨∂u ∂xi , ∂φ ∂xi ⟩= Z Ω ∇u · ∇φ donc ⟨−∆u+λu, φ⟩= Z Ω ∇u·∇φ+λ Z Ω u φ = a(u, φ) = b(φ) = Z Ω f φ = ⟨f, φ⟩. On a bien −∆u + λu = f dans D′(Ω). Donc u est bien solution de (EDP). 3 - Formulation faible 14 . • Réciproquement, soit u solution de (EDP). On a bien u ∈V = H1 0(Ω). De plus, pour tout φ ∈D(Ω), on a, par le même calcul, que a(u, φ) = Z Ω ∇u·∇φ+λ Z Ω u φ = ⟨−∆u + λu, φ⟩= ⟨f, φ⟩= Z Ω f φ = b(φ). On vient donc de démontrer que ∀φ ∈D(Ω), a(u, φ) = b(φ). (1) Il reste à généraliser cette égalité pour tout φ ∈V . On note que – l’espace D(Ω) est dense dans V = H1 0(Ω). – la forme bilinéaire a est continue sur V × V , et la forme linéaire b est continue sur V (cf. slide suivant). On déduit donc de (1) que ∀φ ∈V, a(u, φ) = b(φ). Ainsi, u est bien solution de (FV). BILAN: les problèmes (FV) et (EDP) sont équivalents. 3 - Formulation faible 15 . • Continuité de b: pour tout v ∈H1(Ω), on a |b(v)| = Z Ω f v ≤∥f∥L2(Ω) ∥v∥L2(Ω) ≤C∥v∥H1(Ω) avec C = ∥f∥L2(Ω). • Continuité de a: pour tout u et v ∈H1(Ω), on a |a(u, v)| = Z Ω ∇u · ∇v + λ Z Ω u v ≤ Z Ω |∇u · ∇v| + λ Z Ω |u v| ≤∥∇u∥L2(Ω) ∥∇v∥L2(Ω) + λ∥u∥L2(Ω) ∥v∥L2(Ω) ≤M∥u∥H1(Ω) ∥v∥H1(Ω) avec M = 1 + λ. 3 - Formulation faible 16 . Etape 3. On montre que la formulation faible (FV) est bien posée (existence et unicité de la solution) grace au théorème de Lax-Milgram. (FV) ( Chercher u ∈V tel que ∀v ∈V, a(u, v) = b(v) avec V = H1 0(Ω), a(u, v) = Z Ω ∇u · ∇v + λ Z Ω u v, b(v) = Z Ω f v. • V est bien un espace de Hilbert. • b est une forme linéaire continue sur V . • a est une forme bilinéaire continue sur V × V . Il reste à démontrer que a est coercive sur V . On note que, pour tout u ∈V , a(u, u) = ∥∇u∥2 L2(Ω) + λ∥u∥2 L2(Ω) ≥α ∥∇u∥2 L2(Ω) + ∥u∥2 uploads/s3/ amphi-edp.pdf