Université François Rabelais de Tours Département de Mathématiques Td 2 : Forme

Université François Rabelais de Tours Département de Mathématiques Td 2 : Formes bilinéaires Algèbre Semestre 4, 2015 Exercice 1 Dans E = R3 muni de sa base canonique B0 = (e1, e2, e3), on considère l’application b : E2 →R définie par : b((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 2x1y1 + x2y2 −x3y3. 1. Justifier que b est une forme bilinéaire sur E. 2. Déterminer la matrice B représentant b dans B0. 3. b est-elle symétrique ? antisymétrique ? Déterminer la partie symétrique, b1, et la partie antisy- métrique, b2, de b. 4. Déterminer le rang de b. Mêmes questions avec : b((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y2 + x2y1 + x2y3 −x3y2 −2x3y3 Solution. 1. On voit que b((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = 2e∗ 1 ⊗e∗ 1 + e∗ 2 ⊗e∗ 2 −e∗ 3 ⊗e∗ 3. De plus les applications de la forme e∗ i ⊗e∗ j sont des formes bilinéaires et l’ensemble des formes bili- néaires forme un espace vectoriel. Ainsi b est bien une forme bilinéaire. 2. On rappelle que B = (b(ei, ej))1≤i,j≤3. On trouve donc B =   2 0 0 0 1 0 0 0 −1  . 3. La matrice B est symétrique, la forme b est donc aussi symétrique. La décomposition de b sous la forme b1 + b2 où b1 est la partie symétrique et b2 est la partie antisymétrique est donc b + 0. 4. La matrice B est clairement de rang 3 donc b est de rang 3. On considère maintenant l’application : b((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y2 + x2y1 + x2y3 −x3y2 −2x3y3. On voit que b((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = e∗ 1 ⊗e∗ 2 + e∗ 2 ⊗e∗ 1 + e∗ 2 ⊗e∗ 3 −e∗ 3 ⊗e∗ 2 −2e∗ 3 ⊗e∗ 3 et donc b est une forme bilinéaire puisque b est une combinaison linéaire de formes bilinéaires. On trouve B =   0 1 0 1 0 1 0 −1 −2  . La matrice représentative de b1 est B1 = B + tB 2 et celle de b2 est B2 = B −tB 2 soit B1 =   0 1 0 1 0 0 0 0 −2   et B2 =   0 0 0 0 0 1 0 −1 0  . On a donc b1((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y2 + x2y1 + 2x3y3, b2((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x2y3 −x3y2. Le rang de b est le rang de la matrice B. On a 0 1 0 1 0 1 0 −1 −2 − → L1↔L2 1 0 1 0 1 0 0 −1 −2 − → L3←L2+L3 1 0 1 0 1 0 0 0 −2 et donc b est de rang 3. Exercice 2 Soit b la forme bilinéaire sur E = R3 dont la matrice représentative dans la base canonique B0 = (e1, e2, e3) est : B =   1 1 1 0 0 2 −1 4 3  . 1. b est-elle symétrique ? antisymétrique ? Quel est son rang ? 2. Pour tout (u, v) ∈E2, déterminer b(u, v). 3. Justifier que la famille B = (e1 + e2 + e3, −e1 + e2 + e3, e1 + e2 −e3) est une base de E. 4. Déterminer de deux manières la matrice B′ représentant b dans B. Solution. 1. La forme bilinéaire b n’est ni symétrique, ni antisymétrique puisque sa matrice représen- tative n’est ni symétrique, ni antisymétrique. Le rang de b est le rang de la matrice B. On a 1 1 1 0 0 2 −1 4 3 − → L2↔L3 1 1 1 1 4 3 0 0 2 − → L2←L2−L1 1 1 1 0 3 2 0 0 −2 et donc b est de rang 3. 2. On pose u = (x1, x2, x3) et v = (y1, y2, y3). On trouve b(u, v) = x1y1 + x1y2 + x1y3 + 2x2y3 −x3y1 + 4x3y2 + 3x3y3. 3. Puis que B contient 3 vecteurs, pour montrer que B est une base de E il suffit de montrer que son rang est 3. On a 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 − → L2←L2+L1 L3←L3−L1 1 1 1 0 2 2 0 0 −2 . 4. D’après la définition, la matrice représentative de b dans la base B est définie par : MB(b) =  b(e′ i, e′ j)  1≤i,j≤3 . On calcule successivement : b(e′ 1, e′ 1) = b((1, 1, 1), (1, 1, 1)) = 11 b(e′ 1, e′ 2) = b((1, 1, 1), (−1, 1, 1)) = 11 b(e′ 1, e′ 3) = b((1, 1, 1), (1, 1, −1)) = −1 b(e′ 2, e′ 1) = b((−1, 1, 1), (1, 1, 1)) = 5 b(e′ 2, e′ 2) = b((−1, 1, 1), (−1, 1, 1)) = 9 b(e′ 2, e′ 3) = b((−1, 1, 1), (1, 1, −1)) = −3 b(e′ 3, e′ 1) = b((1, 1, −1), (1, 1, 1)) = −1 b(e′ 3, e′ 2) = b((1, 1, −1), (−1, 1, 1)) = −5 b(e′ 3, e′ 3) = b((1, 1, −1), (1, 1, −1)) = −1 et donc MB(b) =   11 11 −1 5 9 −3 −1 −5 −1  . Sinon, on utilise la formule de changement de base. On a B0PB =   1 −1 1 1 1 1 1 1 −1   et donc MB(b) =t (BPB0)MB0(b)B0PB =   1 1 1 −1 1 1 1 1 −1  ·   1 1 1 0 0 2 −1 4 3  ·   1 −1 1 1 1 1 1 1 −1   =   11 11 −1 5 9 −3 −1 −5 −1  . Exercice 3 Dans E = R2[X], l’espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, on considère l’application b : E2 →R définie par : b(P, Q) = R 1 0 P(t).Q′(t)dt. 1. Justifier que b est une forme bilinéaire sur E. 2. Déterminer la matrice B représentant b dans la base canonique B0 = (1, X, X2) de E. 3. Quel est le rang de b ? 4. b est-elle symétrique ? antisymétrique ? Déterminer la partie symétrique, b1, et la partie antisy- métrique, b2, de b. 5. A-t-on b(P, P) ≥0 pour tout polynôme P ? à quelle condition sur P a-t-on b(P, P) = 0 ? Mêmes questions avec : b(P, Q) = R 1 0 P(t).Q(1 −t)dt et bk(P, Q) = k X i=1 P(i)Q(i) avec k ∈N∗ Solution. 1. Soient P, Q, R ∈R2[X] et λ ∈R. On a b(P + λQ, R) = Z 1 0 (P + λQ)(t).R′(t)dt = Z 1 0 (P(t) + λQ(t)).R′(t)dt = Z 1 0 P(t).R′(t)dt + λ Z 1 0 Q(t).R′(t)dt = b(P, R) + λb(Q, R) et b(P, Q + λR) = Z 1 0 P(t) · (Q + λR)′(t)dt = Z 1 0 P(t) · (Q′(t) + λR′(t))dt = Z 1 0 P(t).Q′(t)dt + λ Z 1 0 P(t).R′(t)dt = b(P, Q) + λb(P, R) L’application b est donc bien une forme bilinéaire sur E. 2. On calcule successivement b(1, 1) = 0 b(1, X) = Z 1 0 dt = 1 b(1, X2) = Z 1 0 2Xdt = 1 b(X, 1) = Z 1 0 X · 0 dt = 0 b(X, X) = Z 1 0 Xdt = 1/2 b(X, X2) = Z 1 0 2X2dt = 2/3 b(X2, 1) = Z 1 0 X2 · 0 dt = 0 b(X2, X) = Z 1 0 X2dt = 1/3 b(X2, X2) = Z 1 0 2X3dt = 1/2 et donc B =   0 1 1 0 1/2 2/3 0 1/3 1/2  . 3. On voit facilement que b est de rang 2. 4. La forme bilinéaire b n’est ni symétrique, ni antisymétrique puisque sa matrice représentative n’est ni symétrique, ni antisymétrique. La matrice représentative de la partie symétrique b1 est B1 = B + tB 2 = 1 2   0 1 1 1 1 1 1 1 1   et celle de la partie antisymétrique b2 est B2 = B −tB 2 =   0 1/2 1/2 −1/2 0 1/6 −1/2 −1/6 0  . 5. On a b(P, P) = Z 1 0 P(t)P ′(t)dt = 1 2P 2 1 0 = 1 2 P 2(1) −P 2(0)  et donc b(P, P) ≤0 ⇐ ⇒|P(0)| ≥|P(1)| ce qui est le cas pour, par exemple, P(t) = 1 −t. Par ailleurs, on a b(P, P) = 0 ⇐ ⇒P(0) = P(1) ce qui est le cas pour, par exemple, P(t) = t · (1 −t). On considère la forme b(P, Q) = R 1 0 P(t).Q(1 −t)dt. Soient P, Q, R ∈R2[X] et λ ∈R. On a b(P + λQ, R) = Z 1 0 (P + uploads/s3/ td2-corrige 1 .pdf

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