80 4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre EXERCICES

80 4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre EXERCICES 4.1 Réglage du gain statique d’un système du premier ordre On considère un système de fonction de transfert G( p) avec : G( p) = K 1 + Tp avec T = 0,1 s Calculer l’expression précise de la pulsation de coupure à 0 dB définie par : G(vc0) = 1 Montrer que si K ≫1, on a : vc0 ≈K T Calculer la valeur du gain K qui permet d’obtenir une pulsation vc0 = 10 rad/s. 4.2 Temps de réponse d’un système du second ordre très amorti On considère un système de fonction de transfert G( p) avec : G( p) = K p2 v2 n + 2jp vn + 1 avec j ≫1 On définit le temps de réponse tr comme l’instant à partir duquel la réponse indicielle du système atteint sa valeur finale à 5 % près. Calculer l’expression de tr. 4.3 Pulsation de coupure à 0 dB d’un système du second ordre On considère un système de fonction de transfert G( p) avec : G( p) = K p2 v2 n + 2jp vn + 1 avec K > 1 Calculer en fonction de K, vn et j, dans les trois cas j < 1, j = 1 et j > 1, l’expression de la pulsation de coupure à 0 dB définie par : G(vc0) = 1 Montrer que si K ≫1, on a, dans tous les cas : vc0 ≈vn √ K. 4.4 Calcul du dépassement de la réponse indicielle d’un système du second ordre On considère un système de fonction de transfert G( p) à l’entrée duquel on injecte un échelon unitaire. Soit s(t) le signal de sortie et s∞sa valeur finale. Solutions des exercices 81 On donne : G( p) = K p2 v2 n + 2jp vn + 1 Calculer en fonction de j, en pourcentage de la valeur finale s∞et dans le cas où j < 1, la valeur du dépassement d défini comme le rapport : d = smax −s∞ s∞ × 100 4.5 Réponse d’un système du second ordre à une rampe en régime critique On considère un système de fonction de transfert G( p) à l’entrée duquel on injecte une rampe unitaire : e(t) = v(t) = t pour t > 0. On donne : G( p) = K p2 v2 n + 2jp vn + 1 avec j = 1 Calculer l’expression du signal de sortie s(t) et tracer son graphe. 4.6 Diagramme de Nyquist d’un système résonant pur Tracer le diagramme de Nyquist du système défini par : G( p) = 10 p2 100 + 1 SOLUTIONS 4.1 Le gain fréquentiel du système a pour expression : G(v) = K  1 + 0,01v2 La pulsation de coupure à 0 dB peut être aisément calculée : G(vc0) = K  1 + 0,01v2 c0 = 1 ⇒ vc0 = 10  K2 −1 Si K ≫1, on a : vc0 = 10  K2 −1 ≈10K = K T Pour obtenir une pulsation vc0 = 10 rad/s, on doit avoir : 10  K2 −1 = 10 ⇒ K = √ 2 82 4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre 4.2 La réponse indicielle d’un tel système du second ordre, pour j > 1, a pour expression : s(t) = K − K 2  j2 −1  j +  j2 −1  e −vn  j−√ j2−1  t −  j −  j2 −1  e −vn  j+√ j2−1  t  Si on considère que j ≫1, on peut faire une approximation à l’ordre 1 de l’expression  j2 −1 :  j2 −1 = j  j2 −1 j2 = j  1 −1 j2 ≈j 1 − 1 2j2  d’où : s(t) ≈K −K 2j  2j e −vnt 2j −1 2j e−2jvnt  Compte tenu de la définition du temps de réponse, on a : 0,95K = K −K 2j  2j e −vntr 2j −1 2j e−2jvntr  soit : 0,1j = 2j e −vntr 2j −1 2j e−2jvntr Par ailleurs : j ≫1 ⇒ 2j e −vntr 2j ≫1 2j e−2jvntr d’où : 0,1j = 2j e −vntr 2j Par conséquent : vntr 2j = −ln 0,05 ⇒ tr = −2j vn ln 0,05 = 6j vn 4.3 La fonction de transfert en fréquence du système a pour expression : G( jv) = K 1 −v2 v2 n + 2jjv vn d’où : G(v) = K  1 −v2 v2 n 2 + 4j2 v2 v2 n Par définition : G(vc0) = K  1 −v2 c0 v2 n 2 + 4j2 v2 c0 v2 n = 1 soit : 1 −v2 c0 v2 n 2 + 4j2 v2 c0 v2 n = K2 Posons X = v2 c0 v2 n : X2 +  4j2 −2  X + 1 −K2 = 0 Résolvons cette équation : D = b2 −4ac =  4j2 −2 2 + 4  K2 −1  Comme K > 1, on a toujours D > 0. Solutions des exercices 83 Par conséquent : X = 2 −4j2 ±  4j2 −2 2 + 4  K2 −1  2 Une seule de ces solutions étant positive, on a : vc0 = vn    2 −4j2 +  4j2 −2 2 + 4  K2 −1  2 Cette expression est valable quelle que soit la valeur de j. Si on suppose, de surcroît, que K ≫1, on alors : vc0 ≈vn  2 −4j2 + √ 4K2 2 ≈vn  2K 2 = vn √ K 4.4 La réponse indicielle d’un tel système du second ordre, pour j < 1, a pour expression : s(t) = Ku(t) −K e−jvnt  cos vn  1 −j2t + j  1 −j2 sin vn  1 −j2t  Calculons la dérivée de cette fonction temporelle : ds dt = Kjvn e−jvnt  cos vn  1 −j2t + j  1 −j2 sin vn  1 −j2t  −K e−jvnt  −vn  1 −j2 sin vn  1 −j2t + jvn cos vn  1 −j2t  Soit : ds dt = Kvn e−jvnt j2  1 −j2 +  1 −j2 sin vn  1 −j2t ou encore : ds dt = Kvn  1 −j2 e−jvnt sin vn  1 −j2t Cette dérivée s’annule pour : vn  1 −j2t = kp Donc pour les valeurs : tk = kp vn  1 −j2 Le maximum que l’on cherche à identifier correspond à la valeur : t1 = p vn  1 −j2 Par conséquent : smax = s (t1) = s p vn  1 −j2 soit : smax = K −K e − pj √ 1−j2  cos p + j  1 −j2 sin p  d’où : smax = K + K e − pj √ 1−j2 84 4 • Étude systématique des systèmes du premier et du second ordre De toute évidence : s∞= K On en déduit donc : d % = smax −s∞ s∞ × 100 = 100 × e − pj √ 1−j2 4.5 La fonction de transfert du système a pour expression : G( p) = K p2 v2 n + 2p vn + 1 avec E( p) = 1 p2 , on a : S( p) = K p2 p vn + 1 2 = Kv2 n p2 (p + vn)2 Cette transformée de Laplace n’apparaît pas dans la table fournie en annexe. En revanche, on y trouve : X( p) = Kv2 n p (p + vn)2 = K v2 n p (p + vn)2 ⇒ x(t) = K −K (1 + vnt) e−vnt Comme S( p) = X( p) p , on a : s(t) =  x(t) dt soit : s(t) =  K dt −  K e−vnt dt −  Kvnt e−vnt dt Intégrons : s(t) = Kt + K vn e−vnt −K vn 1 −(1 + vnt) e−vnt + Cte d’où : s(t) = Kt  1 + e−vnt + 2K vn e−vnt −K vn + Cte En considérant que s(0) = 0, on a : s(0) = K vn + Cte = 0 ⇒ Cte = −K vn Au final, on a donc : s(t) = Kt  1 + e−vnt + 2K vn e−vnt −2K vn ou encore : s(t) =  Kt −2K vn  +  Kt + 2K vn  e−vnt Cette expression fait apparaître que le graphe de s(t) possède une asymptote d’équation y(t) = Kt −2K vn lorsque t →+∞. La courbe reste toujours au dessus de son asymptote étant donné que s(t) −y(t) est toujours positif. Pour tracer la courbe avec plus de précision, il est possible d’invoquer sa dérivée, que l’on connaît déjà : ds dt = x(t) = K −K e−vnt −Kvnt e−vnt Solutions des exercices 85 On remarque uploads/s3/ asservi-serie.pdf

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