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CORRIGE DU SUJET : B BTS INFORMATIQUE DE GESTION SESSION 2003 EPREUVE DE MATHEM

CORRIGE DU SUJET : B BTS INFORMATIQUE DE GESTION SESSION 2003 EPREUVE DE MATHEMATIQUES E2 Question Correction Barème proposé Exercice I 1)a) On répète 100 fois, de manière indépendante, la même expérience, n’ayant que deux issues possibles :  « la personne tirée au hasard est un adulte » avec une probabilité p = 0,608  « la personne tirée au hasard est un mineur » avec une probabilité 1 q p  . On reconnaît un schéma de Bernoulli, la variable X suit la loi binomiale b   100 ; 0,608 . 1 1)b) L’espérance mathématique de la variable X est :   100 0,608 60,800 E X n p      . L’écart-type de X est donné par :   3 60,8 0,392 4,882 valeur arrondie à 10 près. X npq       1 1c)) On a :       60 40 60 3 100 P 60 0,608 0,392 0,080 valeur arrondie à 10 près. X C       1 2) m est l’espérance mathématique de la variable Y : elle est égale à celle de la variable X. est l’écart-type de la variable Y : il est égal à celui de la variable X. On a donc : 3 60,800 et à 10 près =4,882. m    0,5 3)a)   59,5 61 61 60,5 61 P 59,5 60,5 P . 4,9 4,9 4,9 Y Y               La variable Z  61 4,9 Y  suit la loi normale centrée n   0,1 et on obtient :   15 5 5 15 15 5 P 59,5 60,5 P 0,078 49 49 49 49 49 49 Y Z                                             ce dernier résultat étant arrondi à 3 10près. 1 1 3)b)     3 61 54,5 61 65 65 65 P 54,5 P P P . 4,9 4,9 49 49 49 On trouve : P 54,5 0,908 à 10 près. Y Y Z Z Y                                       1,5 Exercice II PARTIE A 1) Par lecture graphique, on a :               2 4 2 4 2 0 6 et ' 0 2. Avec les écritures : 4 e e 0 4 6 ' 2 e 4 e ' 0 2 4 2, on obtient le système : 2 . 2 1 On trouve : 3 et 1. La fonction est donc définie par : 4 3e x x x x x f f f x a b f a b f x a b f a b a b a b a b f f x                           4 e . x  0,5 0,75 2) En développant    2 2 2 2 4 2 4 1 e 4 e 4 e 4e e 4 3e e x x x x x x x          , on reconnaît l’expression de  . f x      2 2 , 1 e 4 e . x x x f x     ¡ 0,25 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BTS Informatique de Gestion Session 2003 Corrigé de l’épreuve de mathématiques E2 Sujet B Page 1 sur 3 PARTIE B 1)           2 4 2 2 2 2 2 ' 6e 4e 2e 3 2e : ' est donc du signe, sur , de 3 2e . 3 ln1,5 3 ln1,5 ' 0 e et ' 0 e . 2 2 2 2 ln1,5 La fonction est donc croissante sur l'intervalle , et décroissante su 2 x x x x x x x f x f x f x x f x x f                       ¡ 0 ln1,5 r , . 2 ln1,5 Le point d'abscisse correspond donc à la valeur pour laquelle 2 la fonction est maximale. x f         La tangente à la courbe (c ) en ce point est horizontale. Dessin de la tangente : 1 0,5 0,25 2)   2 lime 0 donc lim 4. x x x f x     La droite d'équation 4 est asymptote horizontale à la courbe y  (c ) lorsque x tend vers .  Dessin complété : 0,5 0,25 3)       2 2 2 2 , 1 e 0, le signe de est celui de l'expression : 4 e . On a donc : 0 4 e 0 e 4 ln2. Sur l'intervalle 0 , ln2 , la fonction est donc positive. x x x x x f x f x x f             ¡ 0,5 0,5 4)a) Avec l’expression   2 4 4 3e e x x f x    , on trouve une primitive F de f, sur ¡ , de la forme :   2 4 3 1 4 e e . 2 4 x x F x x    1 4)b)         ln2 ln 2 0 0 3 1 3 d ln 2 0 4ln 2 6 4 4ln 2 . 2 4 4 f x x F x F F                1 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BTS Informatique de Gestion Session 2003 Corrigé de l’épreuve de mathématiques E2 Sujet B Page 2 sur 3 Droite tangente au point d’ordonnée maximale Exercice III --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BTS Informatique de Gestion Session 2003 Corrigé de l’épreuve de mathématiques E2 Sujet B Page 3 sur 3 0 1 ln1,5 2 x  Droite asymptote en  3 A G 10 7 4 8 4 D B E 9 3 6 C F 1) sommets prédécesseurs niveau 2 A D 1 B A, F, G 3 C D 1 D 0 E B 4 F C 2 G A, C 2 2) 2 3) Tout chemin arrivant à E passe par B. Tout chemin arrivant à B provient soit de A, soit de F, soit de G. Pour le chemin provenant de A, on trouve : D-A-B-E (22 minutes) Pour le chemin provenant de F, on trouve : D-C-F-B-E (22 minutes) Pour ceux provenant de G, on trouve : D-A-G-B-E (24 minutes) et D-C-G-B-E (24 minutes). Il y a donc deux trajets de durée minimale pour aller de D à E : D-A-B-E et D-C-F-B-E durant tous les deux 22 minutes. 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BTS Informatique de Gestion Session 2003 Corrigé de l’épreuve de mathématiques E2 Sujet B Page 4 sur 3 uploads/s3/ corrige-e2-maths-epreuve-obligatoire.pdf