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Corrig´ e du Contrˆ ole no 1 Exercice 1 1. Les abscisses des points d’intersect

Corrig´ e du Contrˆ ole no 1 Exercice 1 1. Les abscisses des points d’intersection de P avec l’axe des abscisses sont les solutions de l’´ equation f(x) = 0, c’est ` a dire −x2 + 4x −3 = 0. Il s’agit d’une ´ equation du second degr´ e dont le discriminant est ∆= 16 −12 = 4 = 22. Donc l’´ equation a deux solutions : −4 −2 −2 = 3 et −4 + 2 −2 = 1. Donc P coupe l’axe des abscisses en deux points : A(1; 0) et B(3; 0). 2. f est un polynˆ ome du second degr´ e qui a pour racines 1 et 3, dont le coeﬃcient de x2 est n´ egatif, on en d´ eduit son signe : x 1 3 f(x) − 0 + 0 − 3. (a) Les abscisses des points d’intersection de P et de (d) sont les solutions de l’´ equation f(x) = 2x −3 : f(x) = 2x −3 ⇐ ⇒−x2 + 4x −3 = 2x −3 ⇐ ⇒x2 −2x = 0 ⇐ ⇒x(x −2) = 0 ⇐ ⇒x = 0 ou x = 2. Donc P et de (d) se coupent en deux points : E(0; −3) et F(2; 1). (b) Pour tout r´ eel x, f(x) −(2x −3) = −x2 + 4x −3 −(2x −3) = −x2 + 2x = x(−x + 2). f(x) −(2x −3) est un polynˆ ome du second degr´ e dont les racines sont 0 et 2 et dont le coeﬃcient de x2 est n´ egatif, on en d´ eduit son signe : x 0 2 f(x) −(2x −3) − 0 + 0 − Donc : • Pour tout x de ] −∞; 0[∪]2; +∞[, on a : f(x)−(2x−3) < 0, donc f(x) < 2x−3, donc P est au dessous de (d) sur ]−∞; 0[∪]2; +∞[. • Pour tout x de ]0; 2[, on a : f(x) −(2x −3) > 0, donc f(x) > 2x −3, donc P est au dessus de (d) sur ]0; 2[. 4. Les abscisses des points d’intersection de P et de (Dp) sont les solutions de l’´ equation f(x) = 2x + p : f(x) = 2x + p ⇐ ⇒−x2 + 4x −3 = 2x + p ⇐ ⇒x2 −2x + p + 3 = 0. On obtient une ´ equation du second degr´ e dont le discriminant est : ∆= 4 −4(p + 3) = −4p −8 = −4(p + 2). • L’´ equation a deux solutions si et seulement si −4p −8 > 0. −4p −8 > 0 ⇐ ⇒−4p > 8 ⇐ ⇒p < −2. • L’´ equation a une solution si et seulement si −4p −8 = 0, c’est ` a dire p = −2. • L’´ equation n’a pas de solution si et seulement si −4p −8 < 0. −4p −8 < 0 ⇐ ⇒−4p < 8 ⇐ ⇒p > −2. On en d´ eduit que : • Pour tout r´ eel p de ] −∞; −2[, (Dp) coupe P en deux points. • Pour p = −2, (Dp) coupe P en un point. • Pour tout r´ eel p de ] −2; +∞[, (Dp) ne coupe pas P. Exercice 2 voir cours Exercice 3 1. M ∈[AD] et AD = 2, d’o` u x ∈[0 ; 2]. 2. Les triangles AMI et MCD sont respectivement rectangles en A et D. D’apr` es le th´ eor` eme de Pythagore, on a : MI2 = AM2 + AI2 = x2 + ( 1 2)2 et MC2 = MD2 + CD2 = (2 −x)2 + 22. Ainsi, pour tout x ∈[0 ; 2] : f(x) = x2 + ( 1 2)2 + (2 −x)2 + 22 = 2x2 −4x + 21 4 . 3. On d´ etermine la forme canonique de f : α = −b 2a = −−4 4 = 1 et β = f(α) = 13 4 . Pour tout x ∈[0 ; 2] : f(x) = 2(x −1)2 + 13 4 . On en d´ eduit : x 0 1 2 f(x) 21 4 & 13 4 % 21 4 4. (a) D’apr` es le th´ eor` eme de Pythagore (et sa r´ eciproque), le triangle IMC est rectangle en M si et seulement si : MI2 + MC2 = CI2 ⇐ ⇒f(x) = 17 4 . (b) D’apr` es la question pr´ ec´ edente, cela revient ` a r´ esoudre l’´ equation f(x) = 17 4 sur [0 ; 2]. f(x) = 17 4 ⇐ ⇒2x2 −4x + 1 = 0. Le discriminant correspondant vaut 8. Les solutions de cette ´ equation sont (apr` es simpliﬁcation) : 2− √ 2 2 ≈0, 29 et 2+ √ 2 2 ≈1, 71. Ces deux valeurs sont bien dans [0 ; 2]. Exercice 4 1. π −3 > 0, donc |π −3| = π −3. 1 − √ 3 > 0, donc |1 − √ 3| = −(1 − √ 3) = √ 3 −1. 2. (a) • Si x + 3 ⩾0, c’est ` a dire x ⩾−3, on a f(x) = x + 3 • Si x + 3 < 0, c’est ` a dire x < −3, on a f(x) = −(x + 3) = −x −3 On en d´ eduit que : ( Pour tout x de] −∞; −3[, f(x) = −x −3 Pour tout x de] −3; +∞[, f(x) = x + 3 f est aﬃne par morceaux −8. −7. −6. −5. −4. −3. −2. −1. 1. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 0 3. Graphiquement, l’´ equation |x + 3| = 2 c’est ` a dire f(x) = 2, a deux solutions −5 et −1. Exercice 5 Variable(s) m, p, x1, x2:nombres r´ eels D´ ebut Saisir la valeur de m Saisir la valeur de p Si m = 0 Alors Si p = 0 Alors Aﬃcher ≪tout nombre r´ eel est solution ≫ Sinon Aﬃcher ≪cette ´ equation n’a pas de solution r´ eelle ≫ FinSi Sinon Si p = 0 Alors Aﬃcher ≪0 est l’unique solution ≫ Sinon Si p m > 0 Alors Aﬃcher ≪l’´ equation a deux solutions : p p m et −p p m ≫ Sinon Aﬃcher ≪cette ´ equation n’a pas de solution r´ eelle ≫ FinSi FinSi FinSi Fin Question bonus 1 3x > 1 x + 1 ⇐ ⇒3x − 1 x + 1 > 0 ⇐ ⇒3x(x + 1) −1 x + 1 > 0 ⇐ ⇒3x2 + 3x −1 x + 1 > 0 Le num´ erateur poss` ede deux racines : x1 = −3− √ 21 6 ≈−1, 26 et x2 = −3+ √ 21 6 ≈0, 26. Le d´ enominateur s’annule en −1. On ´ etudie le signe du quotient : x −∞ x1 −1 x2 +∞ 3x2 + 3x −1 + 0 − −0 + x + 1 − −0 + + 3x2+3x−1 x+1 −0 + −0 + Par lecture du tableau : S = i −3− √ 21 6 ; −1 h ∪ i −3+ √ 21 6 ; +∞ h Question bonus 2 : 0 n’est pas solution de l’´ equation x2 −4x + 2 = 0, donc Si x est un r´ eel qui v´ eriﬁe x2 −4x + 2 = 0, on sait que x ̸= 0. On peut donc diviser les deux membre de l’´ egalit´ e par x, on obtient : x2 −4x + 2 x = 0, donc x2 x −4x x + 2 x = 0, donc x −4 + 2 x = 0. On en d´ eduit que x + 2 x = 4. uploads/s3/ devoir-commun-math-1-lycee-pissarro 1 .pdf