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Lycée Jules Ferry 2020–2021 PTSI 2 Mathématiques Devoir surveillé no 1 Le temps

Lycée Jules Ferry 2020–2021 PTSI 2 Mathématiques Devoir surveillé no 1 Le temps imparti pour ce devoir est de 2 heures. Tout document ou matériel électronique est interdit. La présentation des copies et la qualité de la rédaction seront largement prises en compte dans l’évaluation ; en particulier, vous êtes invités à mettre en évidence vos résultats en les encadrant clairement. Sauf mention contraire explicite, toutes vos réponses doivent être soigneusement justiﬁées, sans quoi elles ne seront pas prises en compte. Si vous pensez repérer une erreur d’énoncé, vous devez le signaler sur votre copie et poursuivre votre composition. Si vous ne parvenez pas à résoudre une question, vous pouvez admettre le résultat demandé et l’utiliser si besoin dans toute question ultérieure du même exercice. Le devoir est constitué de 5 exercices indépendants. L’énoncé comporte 2 pages. Exercice 1 Les questions de cet exercice sont indépendantes. 1. Linéariser l’expression sin(2x) cos x puis calculer l’intégrale ! π/6 0 sin(2x) cos x dx. 2. Rappeler, pour tout réel x, la déﬁnition de tan x en fonction de sin x et cos x en précisant dans quel cas cette déﬁnition a un sens. Calculer alors la dérivée de x !→tan x sur son ensemble de déﬁnition puis démontrer que pour tout x ∈ " 0, π 2 " , tan x ⩾x. Exercice 2 1. Soient a et b des nombres réels. Rappeler sans démonstration les formules donnant cos a + cos b, cos(a + b), sin(2a) et cos(2a) (on exprimera cos(2a) en fonction de cos a). 2. Factoriser, pour tout réel x, cos(3x) + cos(2x) puis résoudre l’équation (E) suivante d’inconnue réelle x : (E) : cos(3x) + cos(2x) = 0 et représenter sur le cercle trigonométrique les solutions appartenant à [0, 2π]. 3. Soit x ∈R. Exprimer cos(3x) en fonction de cos x puis vériﬁer que # 4 cos2 x −2 cos x −1 $ (cos x + 1) = cos(3x) + cos(2x). 4. Vériﬁer que π 5 et 3π 5 sont solutions de l’équation (E) de la question 2. En déduire que cos %π 5 & et cos '3π 5 ( sont solution d’une équation de degré 2 que l’on précisera. 5. En justiﬁant votre réponse, donner le signe de cos %π 5 & et cos '3π 5 ( , et déterminer ﬁnalement leurs valeurs exactes. Exercice 3 Soit f la fonction déﬁnie par f(x) = ln ' 1 ex −1 ( et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé direct du plan. 1. Justiﬁer que l’ensemble de déﬁnition de f est R∗ +. 2. Déterminer les limites de f en 0+ et en +∞. 3. Dresser le tableau de variations de f. Aﬁn de faciliter les calculs de dérivée, on pourra commencer par écrire « f(x) = −ln(. . . ) », où les points de suspension sont à remplacer par une expression en fonction de x. 4. Déduire des questions précédentes que f réalise une bijection de R∗ + dans un ensemble à déterminer. 1 5. Vériﬁer que, pour tout x ∈R∗ +, f(x) = −x −ln (1 −e−x). En déduire que Cf admet en +∞une asymptote oblique dont on déterminera une équation, et est située au-dessus de cette asymptote. 6. Soit y un réel. Résoudre l’équation « y = f(x) » d’inconnue x ∈R∗ +. Retrouver alors le résultat de la question 4 ainsi qu’une expression de f −1(y) en fonction de y. 7. Calculer f(ln 2) puis tracer sur un même graphe l’allure des courbes représentatives de f et de f −1 (on admettra que ln 2 ≃0, 69). Exercice 4 1. Soit x un nombre réel. Exprimer sin(3x) en fonction de sin x et en déduire que sin3 x = 3 4 sin x −1 4 sin(3x). On considère dans la suite de l’exercice la suite (un)n déﬁnie par u0 = 0 et, pour tout n ∈N, un+1 = un + 3n sin3 % π 3n+1 & . 2. Montrer que, pour tout n ∈N, un+1 = un + 3n+1 4 sin % π 3n+1 & −3n 4 sin % π 3n & . On pourra appliquer la question précédente à un réel x choisi en fonction de n. 3. Montrer par récurrence que, pour tout n ∈N, un = 3n 4 sin % π 3n & . 4. Montrer que sin x x − − − → x→0 1. 5. Déduire de la question précédente la limite de 3n π sin % π 3n & quand n →+∞ et en déduire que la suite (un)n converge vers un réel que l’on précisera. Exercice 5 Soit f la fonction déﬁnie par f(x) = 1 2 % 1 −√1 −x & . 1. Donner l’ensemble de déﬁnition de f. 2. Montrer que, pour tout x ∈[0, 1], f(x) ⩾0, puis que pour tout x ∈[0, 1], 1 2 √ 1 −x ⩾1 2 −x (on pourra traiter séparément les cas x ∈ ) 0, 1 2 * et x ∈ * 1 2, 1 * ). En déduire que, pour tout x ∈[0, 1], 0 ⩽f(x) ⩽x. Dans la suite de l’exercice, on ﬁxe un réel a ∈[0, 1], et on considère la suite (un)n déﬁnie par    u0 = a, ∀n ∈N, un+1 = f(un). 3. Montrer par récurrence que, pour tout n ∈N, un ∈[0, 1] (on pourra utiliser la question 2). Ceci permet en particulier d’en déduire que, pour tout n ∈N, un ∈D : ainsi, la suite ne « sort » jamais de l’ensemble de déﬁnition de f et est donc bien déﬁnie. 4. Donner le sens de variations de (un)n (on pourra utiliser les questions 2 et 3) et montrer qu’elle est convergente. 5. On note ℓla limite de (un)n. Montrer que : ℓ= 1 2 % 1 − √ 1 −ℓ & et en déduire la valeur de ℓ. 2 uploads/s3/ devoir-surveille-n-1.pdf