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DM28 • T5 DM28 • Moteur et d´ etente de l’h´ elium I Cycle moteur [V´ eto 2001]

DM28 • T5 DM28 • Moteur et d´ etente de l’h´ elium I Cycle moteur [V´ eto 2001] Attention : une grande attention sera port´ ee ` a la qualit´ e des applications num´ eriques (les donner avec 3 ou 4 chiﬀres signiﬁcatifs) Un moteur ditherme fonctionne entre deux thermostats selon un cycle constitu´ e de deux transformations adiaba- tiques r´ eversibles et de deux transformations isochores. Les temp´ eratures des thermostats sont TFR (source froide) et TCH (source chaude) avec TFR < TCH. Le cycle est d´ ecrit par n moles de gaz suppos´ e parfait de capacit´ e thermmique molaire ` a volume constant CV m constante. Pour ce gaz, le rapport γ de la capacit´ e thermique molaire ` a pression constante CPm et de CV m est ´ egal ` a 1, 4. Les diﬀ´ erentes transformations du cycle sont : - A →B : compression adiabatique r´ eversible de dur´ ee ∆t ; - B →C : compression isochore par contact du gaz avec la source chaude par l’interm´ ediaire des parois du cylindre qui A B C D P V TFR TCH VA=VD VB=VC le contient pendant une dur´ ee ∆t1 ; - C →D : d´ etente adiabatique r´ eversible de dur´ ee ∆t ; - D →A : d´ etente isochore par contact du gaz avec la source froide par l’interm´ ediaire des parois du cylindre qui le contient pendant une dur´ ee ∆t2. On ne tiendra pas compte de la capacit´ e thermique du cylindre contenant le gaz. Chaque grandeur pression P, volume V et temp´ erature T du gaz en un point du cycle sera indic´ ee par la lettre de ce point. On notera α le rappport volum´ etrique VA VB = VD VC = α. Donn´ ees : TFR = 350 K ; TCH = 1 100 K ; α = 10. Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J.K−1.mol−1 ; n = 0, 05 mol. ∆t = 1, 00.10−2 s ; ∆t1 = 4, 43.10−2 s ; ∆t2 = 3, 45.10−2 s. 1) ´ Etablir la relation de Mayer. En d´ eduire les expressions de CV m et CPm en fonction de R et de γ. A.N. : calculer CPm et CV m. 2) Montrer que pour une transformation isentropique r´ eversible d’un gaz parfait de rapport γ constant, on a la relation PV γ = Cte. En d´ eduire l’expression litt´ erale de TB en fonction de TA, α et γ, ainsi que celle de TD en fonction de TC, α et γ. A.N. : calculer TB et TD sachant que TA = 390 K et TC = 1000 K. 3) D´ eterminer, en fonction de n, R, TA, TC, α et γ, les expressions litt´ erales : - du transfert thermique QC re¸ cu par le gaz, pendant la dur´ ee du cycle, de la part de la source chaude ; - du transfert thermique QF re¸ cu par le gaz, pendant la dur´ ee du cycle, de la part de la source froide. A.N. : calculer QC et QF . 4) D´ eterminer, en fonction de n, R, TA, TC, α et γ, l’expression litt´ erale du travail W re¸ cu par DM28 • T5 Cycle moteur et d´ etente de l’h´ elium 2012-2013 le gaz pendant la dur´ ee d’un cycle. Quelle est la puissance moyenne P de ce moteur ? A.N. : calculer W et P. 5) D´ eﬁnir le rendement η de ce cycle moteur. D´ eterminer l’expression litt´ erale de η en fonction uniquement de α et de γ. A.N. : calculer η. 6) D´ emontrer l’expression litt´ erale de la valeur maximale ηmax du rendement pr´ evue par le th´ eor` eme de Carnot ? A.N. : calculer ηmax. Comparer η et ηmax. Que peut-on en conclure ? 7) D´ eterminer, en fonction de n, R, TA, TC, α et γ, les expressions litt´ erales ∆SAB, ∆SBC, ∆SCD et ∆SDA, de la variation d’entropie du gaz pour les quatre transformations du cycle. A.N. : calculer ∆SDA et ∆SBC. 8) Quelle est la variation d’entropie du gaz au cours d’un cycle ? 9) D´ eterminer, en fonction de n, R, TA, TC, TCH, α et γ, la variation d’entropie ∆SCH de la source chaude. A.N. : calculer ∆SCH. 10) D´ eterminer, en fonction de n, R, TA, TC, TFR, α et γ, la variation d’entropie ∆SFR de la source froide. A.N. : calculer ∆SFR. 11) Quelle est la variation d’entropie ∆S∞, au cours d’un cycle, du syst` eme constitu´ e de l’ensemble des sources de chaleur et du gaz ? A.N. : calculer ∆S∞. Commenter le r´ esultat. 12) Que les transferts thermiques aient lieu avec l’une ou l’autre des sources, on suppose que, ` a partir de l’instant t et pendant une dur´ ee inﬁnit´ esimale dt, ils sont de la forme : δQC = λ(TCH −T(t)).dt au cours de la transformation B →C δQF = λ(TFR −T(t)).dt au cours de la transformation D →A T(t) ´ etant la temp´ erature du gaz, suppos´ ee uniforme, ` a la date t et λ une constante positive. On prendra λ = 4, 5 uSI. 12.a) Quelle est l’unit´ e de λ, exprim´ ee en fonction des unit´ es de travail, de temp´ erature et de temps du syst` eme international ? 12.b) Quelle est l’unit´ e de λ, exprim´ ee en fonction des unit´ es fondamentales du syst` eme inter- national ? 13) On pose τ = nCV m λ . D´ eterminer la relation entre TFR, TA, TD, τ et ∆t2. Quelle est l’unit´ e fondamentale de τ ? Que repr´ esente τ ? 14) D´ eterminer la relation entre TCH, TB, TC, τ et ∆t1. 15) D´ eterminer les valeurs limites TA,lim et TC,lim de TA et TC lorsque ∆t1 et ∆t2 tendent vers l’inﬁni. 16) Repr´ esenter le cycle moteur ´ etudi´ e dans le diagramme entropique en justiﬁant th´ eoriquement les allures des courbes repr´ esentatives de chaque transformation. Y faire ´ egalement apparaˆ ıtre les isothermes TCH et TFR. 2 http://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. | PTSI 2012-2013 DM28 • T5 Cycle moteur et d´ etente de l’h´ elium II D´ etente de l’h´ elium [ENAC 2006, q. 19-24] Une enceinte cylindrique ferm´ ee par un piston, mo- bile sans frottement, contient 500 g d’h´ elium gazeux, monoatomique, de masse molaire M = 4 g.mol−1. Dans l’´ etat (1) initial, le volume de l’enceinte est V1 = 100 L, et le gaz, suppos´ e parfait, est ` a la temp´ erature T1 = 600 K. On rappelle que l’´ energie interne de n moles de gaz parfait monoatomique ` a la temp´ erature T s’´ ecrit : U = 3 2nRT, o` u R = 8, 31 J.K−1.mol−1 d´ esigne la constante des gaz parfaits. 1) Calculer la capacit´ e thermique massique ` a volume constant cV de l’h´ elium : A) cV = 1, 38 kJ.K−1.kg−1 B) cV = 2, 91 kJ.K−1.kg−1 C) cV = 3, 12 kJ.K−1.kg−1 D) cV = 5, 19 kJ.K−1.kg−1 2) Par d´ eplacement du piston, le gaz subit une d´ etente isotherme, suppos´ ee r´ eversible, qui le conduit ` a l’´ etat (2) caract´ eris´ e par un volume V2 = 250 L. Calculer la pression P2 du gaz dans ce nouvel ´ etat : A) P2 = 2, 49.106 Pa B) P2 = 2, 49.103 Pa C) P2 = 9, 97.106 Pa D) P2 = 9, 97.103 Pa 3) Quel est le travail W12 re¸ cu par le gaz au cours de cette ´ evolution isotherme ? A) W12 = −2 280 kJ B) W12 = −571 kJ C) W12 = 571 kJ D) W12 = 2 280 kJ 4) On envisage une nouvelle ´ evolution r´ eversible, constitu´ ee d’une d´ etente adiabatique entre l’´ etat (1) et un ´ etat interm´ ediaire (3) de volume V3 = V2, suivie d’un chauﬀage isochore entre l’´ etat (3) et l’´ etat ﬁnal (2), d´ eﬁni pr´ ec´ edemment. D´ eterminer la temp´ erature T3 de l’´ etat in- term´ ediaire : A) T3 = 326 K B) T3 = 416 K C) T3 = 866 K D) T3 = 1 105 K 5) Calculer le travail W132 re¸ cu par le gaz au cours des ´ evolution successives : (1) →(3) →(2) : A) W132 = −287 kJ B) W132 = −427 kJ C) W132 = 414 kJ D) W132 = 787 kJ 6) D´ eterminer la variation d’entropie ∆S du gaz entre l’´ etat (1) et l’´ etat (2) : A) ∆S = −3 807 J.K−1 B) ∆S = −952 J.K−1 C) ∆S = 952 J.K−1 D) ∆S = 0 J.K−1 7) Repr´ esenter dans le diagramme de Watt les trois ´ etats thermodynamiques ((1), (2) et (3)) ainsi que les courbes des trois ´ evolutions ´ etudi´ ees ((1) →(2), (1) →(3) et (3) →(2)). On prendra soin de faire apparaˆ ıtre P1, P2, uploads/s3/ dm28-1213.pdf