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Année Scolaire 2017 – 2018 MATHÉMATIQUES MPSI3 DS N˚2 Samedi 07/10/2017 (4h) Le

Année Scolaire 2017 – 2018 MATHÉMATIQUES MPSI3 DS N˚2 Samedi 07/10/2017 (4h) Les candidats sont invités à composer avec une encre sufﬁsamment visible (en bleu foncé ou en noir par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les résultats doivent être encadrés . La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits. Problème 1 : complexes Les deux parties de ce problème sont indépendantes. Partie I : Trigonométrie Soit u = exp(2iπ 11 ). On pose S = u +u4 +u9 +u5 +u3 et T = u2 +u6 +u7 +u8 +u10. Q1) Justiﬁer les égalités : u11 = 1 et u = 1 u. Q2) En déduire sans calculs que S et T sont conjugués. Q3) Montrer que la partie imaginaire de S est positive (sans calcul numérique). Q4) Démontrer que S +T = −1 et S ×T = 3. Q5) En déduire la valeur de S et celle de T. Q6) Par déﬁnition, tan ¡3π 11 ¢ = sin( 3π 11 ) cos( 3π 11 ). a) À l’aide des formules d’Euler, montrer que : i tan ¡3π 11 ¢ = u3−1 u3+1 = − 10 P k=1 (−u3)k ; b) Vériﬁer que 4i sin ¡2π 11 ¢ = 2(u −u10). Q7) En déduire que tan ¡3π 11 ¢ +4sin ¡2π 11 ¢ = i(T −S) = p 11. Partie II : Cosinus et sinus hyperboliques complexes Pour z ∈C, on pose ch(z) = ez+e−z 2 (cosinus hyperbolique complexe) et sh(z) = ez−e−z 2 (sinus hyperbolique complexe). On remarquera qu’il s’agit de l’exponentielle complexe. Q8) a) Montrer que ∀z ∈C, 1 ez = e−z. b) Montrer que les fonctions ch et sh complexes sont périodiques (préciser une période). 1 c) Montrer que la fonction ch est paire et la fonction sh est impaire. d) Soit x réel, exprimer cos(x) et sin(x) à l’aide des fonctions complexes ch et sh. e) Exprimer ch(z +iπ) et sh(z +iπ) en fonction de ch(z) et sh(z). Q9) Soient z,z′ deux complexes, démontrer les relations : a) ch2(z)−sh2(z) = 1. b) ch(z) = ch(z) et sh(z) = sh(z). c) ch(z + z′) = ch(z)ch(z′)+sh(z)sh(z′) et sh(z + z′) = ch(z)sh(z′)+sh(z)ch(z′). d) ch(z)+ch(z′) = 2ch( z+z′ 2 )ch( z−z′ 2 ) et sh(z)+sh(z′) = 2sh( z+z′ 2 )ch( z−z′ 2 ) Q10) Soit z ∈C avec z = x +i y sous forme algébrique, montrer que : a) |ch(z)|2 = 1 2 ¡ ch(2x)+cos(2y) ¢ . b) |sh(z)|2 = 1 2 ¡ ch(2x)−cos(2y) ¢ . Q11) Résoudre dans C les équations : a) sh(z) = 0, puis ch(z) = 0. b) ch(z) = 1. c) ch(z) = i. Q12) a) Soit z′ ∈C, déterminer tous les complexes z tels que ch(z) = ch(z′). b) Déterminer tous les complexes z tels que ch(z) ∈R. c) Déterminer tous les complexes z tels que ch(z) ∈iR. Problème 2 : simpliﬁcations de sommes Les parties de ce problème sont indépendantes. Partie I Soit z un complexe différent de 1, et n un entier supérieur ou égal à 2, on pose : Sn = n P k=1 kzk. Q1) a) Démontrer que (1−z)Sn +nzn+1 = n P k=1 zk. b) En déduire que Sn = z−(n+1)zn+1+nzn+2 (1−z)2 . Q2) Dans cette question on propose une autre méthode pour simpliﬁer Sn : a) Justiﬁer soigneusement les deux égalités suivantes : Sn = n P k=1 µ k P s=1 zk ¶ = n P s=1 µ n P k=s zk ¶ . b) Retrouver ainsi la simpliﬁcation de Sn. Q3) a) Calculer Sn lorsque z = ei 2π n , sous la forme reiθ avec r et θ réels. b) En déduire n P k=1 k cos(2kπ n ) et n P k=1 k sin(2kπ n ). 2 Partie II Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2, on note pour tout complexe z : Sn(z) = n−1 X k=0 ³ z +e 2ikπ n ´n Q4) Rappeler la formule du binôme de Newton. Q5) Démontrer que Sn(z) = n P p=0 µn−1 P k=0 ¡n p ¢ zn−pe 2ikpπ n ¶ . Q6) En déduire la relation (R) : Sn(z) = n(zn +1). Q7) a) En prenant z = e2ia avec a réel, déduire de la relation (R) que : n−1 X k=0 (−1)k cosn(kπ n −a) = n cos(na) 2n−1 b) Pour quelles valeurs de a la somme ci-dessus est-elle nulle? c) Simpliﬁer pour a ∈R, n−1 P k=0 (−1)k sinn(kπ n −a). Partie III Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2, a désigne un complexe qui n’est pas une racine ne de l’unité, et on note pour tout complexe z : Pn(z) = (az −1)n −zn. Q8) Déterminer soigneusement les racines du polynôme Pn, c’est à dire tous les complexes z vériﬁant Pn(z) = 0. Q9) a) Développer le polynôme Pn(z). b) Pour k ∈0;n, déterminer ak le coefﬁcient de zk dans l’expression développée du polynôme Pn(z). Q10) On admet que la somme des racines du polynôme Pn est égale à −an−1 an (les termes ak ont été déﬁnis dans la question précédente), et que le produit des racines de Pn est égal à (−1)n a0 an . a) Démontrer que : n−1 X k=0 1 a −e 2ikπ n = nan−1 an −1 b) Démontrer que : n−1 Y k=0 (a −e 2ikπ n ) = an −1 c) Justiﬁer que la formule ci-dessus reste vraie pour tout complexe a ∈C. d) Soit a = e2iα avec α réel, simpliﬁer : n−1 Y k=0 sin(kπ n −α) – FIN – 3 uploads/s3/ ds02-1718.pdf