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Dr. A. Khodja Faculté d'Electronique et d'Informatique Année universitaire 2019

Dr. A. Khodja Faculté d'Electronique et d'Informatique Année universitaire 2019/2020 3iéme année Licence en Télécommunication Module Antennes et Lignes de transmission (Section B) Série de TD n°1: Analyses vectorielles en électromagnétisme pour l'étude de l'antenne Exercice n°1: Soient deux ondes EMs planes, se propageant dans l'espace libre, décrites par leurs champs électriques: z 0 1 e ) kx t cos( E E r r − ω = z 0 2 e ) ky t cos( E E r r − ω = 1- Déterminer les vecteurs d'onde 1 k r et 2 k r de 1 E r et 2 E r ainsi que leur sens de propagation. 2- Calculer le champ électrique total 2 1 T E E E r r r + = en le mettant sous la forme ( ) z e ) y , x ( t cos ) y , x ( f r φ − ω . 3- En déduire le champ à induction magnétique total T B r en utilisant l'une des équations de Maxwell. 4- A partir de l'expression de T B r , retrouver 1 B r et 2 B r relatifs à 1 E r et 2 E r sachant que 2 1 T B B B r r r + = . 5- D'après l'expression du champ résultant T E r , déterminer eq k r et indiquer le sens de propagation de T E r . 6- Trouver les relations entre y et x pour lesquelles T E r présente des nœuds et des ventres. Exercice n°2: On considère un milieu rempli d'air contenant deux ondes EMs planes dont 1 E r et 2 E r de même pulsation ω et amplitude E0, varient en fonction du temps sous forme de ejωt. Ces deux vecteurs vibrent parallèlement à l'axe des x. Le champ 1 E r se propage selon l'axe des y>0 et 2 E r selon l'axe des y<0. 1- Donner l'expression de 1 E r et 2 E r ainsi que l'expression du champ total T E r . 2- En déduire le champ magnétique total T B r . 3- Déterminer le vecteur de Poynting résultant moyen moy T P r . Que peut-on déduire quant à la propagation de la puissance active? 4- Refaire la question 3 en prenant cette fois-ci la variation temporelle des deux ondes 1 E r et 2 E r en cos(ωt). Que peut-on constater? Exercice n°3: Une onde EM plane sinusoïdale de longueur d'onde λ0 se propage dans le vide selon la direction u or du plan xoy faisant un angle θ avec l'axe ox comme l'indique la figure ci-contre. Le champ électrique s'exprime à l'origine par z 0 e ) t cos( E ) t , 0 ( E r r ω = . 1- Etablir les expressions du vecteur d'onde k r et du champ électrique ) t , r ( E r . 2- En déduire le champ à induction magnétique ) t , r ( B r où r est un point dans l'espace. 3- Calculer les amplitudes des champs E r et B r sachant que la moyenne du module du vecteur de Poynting < P P P P r > est de 0.2 W/m2 et θ = 30°. On donne c = 3.108m/s et η0 = 120π. 4- Déterminer puis calculer la puissance moyenne (Pmoy) de l'onde EM traversant une surface carrée de coté a = 1cm dans le plan xoz (voir fig. 1). y z x u r θ o Fig. 1 Dr. A. Khodja Exercice n°4: On considère un milieu constitué du vide contenant une source rayonnante munie de densité de charge "ρ" et de densité de courant "J r " sachant que E r et B r peuvent être exprimés en fonction du potentiel scalaire "Φ" et du potentiel vecteur " A r " comme suit: t A d a gr E ∂ ∂ − Φ − = r r r et A t o r B r r r = . 1- En utilisant les équations de Maxwell et en tenant compte de la condition de Lorentz, déterminer l'équation d'onde du potentiel scalaire puis celle du potentiel vecteur. 2- A partir de la question précédente, en déduire l'équation de Poisson du potentiel scalaire et du potentiel vecteur lorsqu'on se trouve dans le cas statique. Exercice n°5: Une onde EM est décrite par ces deux composantes en champ électrique telles que:    − ω = Φ + − ω = ) kz t sin( E E ) kz t sin( E E 0y y 0x x , sachant que E0x > 0, E0y > 0 et Ez = 0. Selon les amplitudes E0x et E0y et la phase Φ, discuter de la polarisation de l'onde pour les cas suivants: 1 - E0x ≠ 0 et E0y = 0. 2 - E0x = 0 et E0y ≠ 0. 3 - E0x ≠ 0, E0y ≠ 0 et Φ = 0. 4 - E0x ≠ 0, E0y ≠ 0 et Φ = π. 5 - E0x = E0y et Φ = π/2. 6 - E0x = E0y et Φ = −π/2. 7 - E0x ≠ E0y et Φ = π/2. 8 - E0x ≠ E0y et Φ = −π/2. 9 - E0x ≠ E0y et 0 < Φ < π. 10 - E0x ≠ E0y et −π < Φ < 0. Exercice n°6: On considère une antenne de longueur maximale L rayonnant dans toutes les directions. 1- Donner la distance r du point d'observation par rapport à l'antenne en fonction de la longueur L et de la différence de parcours ∆r. En déduire les distances limites des trois zones de rayonnement. 2- Quelle est la zone correspondante dans le cas où le point d'observation est choisi à 2Km par rapport à l'antenne de longueur maximale L=50m fonctionnant à F=100MHz? Exercice n°7: 1- Quelle longueur minimale doit posséder une antenne filaire rayonnant à 300MHz dans la zone de Rayleigh en un point situé à 12.5m de l'antenne? 2- Dans le cas où l'antenne est de longueur 6m utilisée à la même fréquence. A partir de quelle distance r un point peut-il être considéré comme étant en champ lointain? Exercice n°8: Dans un système de coordonnées sphériques: 1- Mettre les variables x, y et z en fonction des variables r, θ et Φ. 2- En déduire les variables r, θ et Φ en fonction des variables x, y et z. 3- Ecrire les vecteurs unitaires r e r , θ e r et Φ e r en fonction des vecteurs unitaires x e r , y e r et z e r . 4- En déduire x e r , y e r et z e r en fonction de r e r , θ e r et Φ e r . Dr. A. Khodja Exercice n°9: Une antenne rayonnante émet une onde EM dont le champ électrique s'exprime en coordonnées sphériques comme suit: φ − ω θ = e ) kr t cos( ) cos( r S E 0 r r Avec S0 = Cte 1- En exprimant ) E ( t o r r r en coordonnées sphériques, déterminer le champ à induction magnétique B r . 2- Dans le cas où l'on considère que cette onde est plane, retrouver l'expression de E r à partir du produit vectoriel E k B r r r ∧ ω = . 3- Comparer l'expression de B r à celle obtenue à partir de la première question pour le cas où l'on se trouve dans la zone du champ lointain. Conclure. 4- Déterminer le vecteur de Poynting moyen. 5- Calculer la puissance moyenne de l'onde EM traversant une sphère de rayon r. Exercice n°10: Soit un champ vectoriel A r défini en coordonnées cylindriques par: φ φ − π µ + φ − π µ = e cos ) ' jkr exp( ' r 4 d I e sin ) ' jkr exp( ' r 4 d I A 0 0 ' r 0 0 l l Déterminer A div r , ) A div ( d a gr r r et A t o r r r . Exercice n°11: Soit un champ vectoriel B défini en coordonnées sphériques par: φ − π µ = e ) jkr exp( r 4 I B 0 0 1- Déterminer ) B t o r ( t o r r r r et ) B div ( d a gr r r 2- En déduire B ∆ = ) B div ( d a gr r r − ) B t o r ( t o r r r r 3- Déterminer B ∆ en utilisant l'expression du Laplacien ∆ en coordonnées sphériques. 4- Comparer les résultats obtenus à partir de la 2ème et 3ème question. Que peut-on conclure? uploads/s3/ corrige-e3b.pdf