ENCGO S1 - Mathématiques Pr. A. Chetouani 2020/2021 Devoir surveillé (Groupe B)

ENCGO S1 - Mathématiques Pr. A. Chetouani 2020/2021 Devoir surveillé (Groupe B) Durée : 1h30 Important : — La qualité de la rédaction sera prise en compte pour la note finale — Toute réponse non justifiée sera considérée comme fausse — Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans n’importe quel ordre. — Obligatoire : Inscrire vos noms; prénoms; groupe; Numéro d’inscription ou numéro apogee sur chaque feuille de réponses. Exercice 1 Soit E un ensemble, et A,B deux sous-ensembles de E. On appelle différence symétrique de A et B, notée A△B, le sous-ensemble de E : A△B = A∩B  ∪ B∩A  1. Interpréter les éléments de A△B 2. Calculer A△E,A△A. 3. Soient A = {a,c,e, f,x},B = {c,i, j,k,m,y},C = {o,n,s,t,u}. Donner A△B, (A△C)∪B, (A∪ B)△(B∪C). Exercice 2 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives? 1. f : Z − →Z n 7→11n−4 2. g :]0,+∞[→R x 7→ x x2 +1 3. h : { Etudiants du groue B de la première année de l’encgo } →{ Lettres de l’alphabet } x 7→première lettre du nom de l’étudiant x Dans le groupe B, les noms des étudiants sont répartis comme suit : 1 Première lettre du nom nombre d’étudiants F,Y 3 G 6 H,K 16 I,N,Z 7 J,Q 1 L,S 12 T,M 33 O 8 R 5 4. k : { Etudiants de la première année de l’encgo } →{ Lettres de l’alphabet } x 7→première lettre du nom de l’étudiant x En première année, les noms des étudiants sont répartis comme suit : Première lettre du nom nombre d’étudiants A 33 B 39 C 14 D 9 E 28 F,Y 3 G 6 H,K 16 I,N,Z 7 J,Q 1 L,S 12 T,M 33 O 8 R 5 Exercice 3 Soit (un)n la suite définie par u0 = 1 un+1 =  n+1 2n+4  un ∀n ⩾1 (a) Calculer u1,u2 et u3. (b) Montrer que la suite un est à termes positifs. (c) Montrer que la suite un est décroissante. (d) En déduire que la suite un converge. (e) Déterminer la limite de la suite un . (f) On considère la suite vn définie par vn = (n+1)un n ∈N i. Calculer vn+1 en fonction de vn. ii. Donner l’expression de vn en fonction de n. iii. En déduire l’expression de un en fonction de n. iv. On pose S = u0 +2u1 +3u2 +...+(n+1)un = n ∑ i=0 (i+1)ui, calculer S en fonction de n. 2 uploads/s3/ ds1-math-2020-1.pdf

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