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1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne Sujets d’Exam

1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumedienne Sujets d’Examens 2 U.S.T.H.B D.E.P.B Institut de Physique TP.010 1995-1996 Seconde Epreuve de Moyenne Durée ( 1h 30mn ) Exercice 1 : ( /14 points) Le système ci-contre est constitué de deux tiges rectilignes identiques , homogènes de masse m et de longueur 2l. Ces deux tiges sont reliées, en leur milieu, à deux bâtis fixes par deux ressorts identiques de raideur k. De plus elles sont couplées par un ressort de raideur K. A l’équilibre les tiges sont horizontales. Elles oscillent dans un plan vertical, autour de leurs extrêmités respectives O1 et O2 en effectuant des oscillations de faible amplitude représentées par les angles θ1 et θ2 .On pose y1 = l θ1, y2 = l θ2 et ω0 = k m. 1°) Calculer le lagrangien de ce système. Pour quelle valeur du rapport k/K, le lagrangien s’écrit : L m y y y y y y A = + − − +      + 2 3 2 1 2 2 2 0 2 1 2 0 2 2 2 0 2 1 2 & & ω ω ω où A est une constante. Dans toute la suite du problème on utilisera cette expression du lagrangien. 2°) Etablir les équations différentielles du mouvement et en déduire les pulsations propres ω1 et ω2 en fonction de ω0. 3°) Le système précédent, dans lequel les différents frottements supposés faibles sont représentés par un amortisseur de coefficient de frottement α, est soumis à une force extérieure sinusoïdale d’amplitude F0 et de pulsation ω. Cette force verticale agit sur l’extrêmité de la première tige. Etablir les équations différentielles du mouvement pour y1 et y2. 4°) En utilisant l’analogie force-tension, donner les équations intégro-différentielles qui régissent le système électrique analogue au système mécanique étudié. On précisera soigneusement toutes les grandeurs mécaniques et électriques respectivement analogues. En déduire le schéma électrique analogue. 5°) Exprimer la pulsation ω0 en fonction des éléments du système électrique. Calculer l’impédance d’entrée du système électrique lorsque la pulsation d’excitation ω est telle que ω = ω0. k k K l l θ1 θ2 O1 O2 O2 O1 k k K l l θ1 θ2 α F(t) 3 Exercice 2 : ( / 6 points ) On considère une corde homogène de masse par unité de longueur µ tendue horizontalement avec une tension T très grande devant le poids de la corde.. La corde de longueur infinie est terminée en x = 0 par un amortisseur de coefficient de frottement visqueux α. Une onde incidente transversale arrive de - ∞ et se propage dans la corde dans le sens des x croissants. Cette onde correspond à un déplacement transversal donné par: i i j t kx u x t U e ( , ) ( ) = − ω où k représente le module du vecteur d’onde. 1°) Donner l’expression du coefficient de reflexion r en amplitude de déplacement en x = 0. Quel est le module et l’argument de r dans le cas particulier où α ≤ µT ? 2°) Ecrire l’expression du déplacement résultant u(x,t), en chaque point de la corde, en fonction des données du problème et du coefficient de reflexion, r. 3°) Montrer que le déplacement résultant en chaque point de la corde peut alors s’écrire sous la forme de la somme d’une onde progressive et d’une onde stationnaire et qu’il s’écrit sous la forme : u x t U e U x e p j t kx j t ( , ) ( ) ( ) = + − ω ω Up et U(x) sont deux nombres réels qui représentent respectivement l’amplitude de l’onde progressive et l’amplitude de l’onde stationnaire. Calculer l’amplitude Up en fonction de r et Ui , ainsi que l’amplitude U(x) en fonction de r,Ui, k et x. 4°) Que devient u(x,t) dans les cas particuliers suivants : a) α = µT, b) α = 0. y x 0 T,µ α 4 U.S.T.H.B Institut de Physique D.E.P.B 1995-1996 Epreuve de rattrapage (Durée 2 heures) Exercice 1: (/≅10 points) Le système ci-contre est constitué de deux masses identiques reliées à deux bâtis fixes par deux ressorts identiques de raideur k. Les deux masses, reliées entre elles par un ressort de raideur k0, glissent sur un plan horizontal et les différentes forces de frottement sont symbolisées par les deux amortisseurs de même coefficient de frottement visqueux α. La position de chacune des masses est repérée par rapport à la position d’équilibre par chacune des coordonnées respectives x1 et x2. 1. Etablir les équations différentielles qui régissent les variations de x1 et x2 en fonction du temps. 2. On pose p1 = x1 + x2 et p2 = x1 - x2. Montrer, à partir des résultats de la première question, que p1 et p2 satisfont deux équations différentielles découplées, du second ordre et à coefficients constants : && & && & p p p p p p 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 0 + + = + + =      δ δ ω ω Donner les expressions du facteur d’amortissement δ ainsi que des pulsations propres ω1 et ω2 en fonction des données du problème. 3. Le système est faiblement amorti (δ < ω1 et δ < ω2), et les conditions initiales sont telles que x x x x x 1 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) , & ( ) & ( ) = = = = . a) Dans ces conditions, calculer p1 et p2 en fonction du temps. b) Montrer que dans le cas où le système est très faiblement amorti (δ << ω1 et δ << ω2), les expressions suivantes constituent une bonne approximation de p1 et p2 : 1 1 2 2 p e p e A t et A t t t = = − − δ δ ω ω cos( ) cos( ) Déterminer l’expression de A et représenter sur deux graphes séparés l’allure des variations au cours du temps de p1 et p2. 4. a) Exprimer x1 et x2 en fonction de p1 et p2 puis déduire des résultats du b) de la question précédente les expressions de x1 et x2 en fonction du temps. b) Dans le cas où k0<<k, montrer que 2 1 ω ω = + ∆ω; donner l’expression de ∆ω. Montrer que l’on obtient un phénomène de battement d’amplitude décroissante et représenter sur deux graphes séparés l’allure des variations au cours du temps de x1 et x2. Quelles sont les expressions de la pulsation des battements et de la pulsation des oscillations en fonction de m, k et k0? Exercice 2 : (/≅5points) Une corde de masse linéique µ=0.01kg/m est soumise à une tension T=5N entre un support fixe et un vibreur qui exerce une force sinusoidale sur la corde et la fait vibrer α α k0 k k x1 x2 m m 5 transversalement. La longueur de la corde est =0.4m. Pour une fréquence d’oscillation donnée, on observe des noeuds de vibration séparés par une distance d=0.1m, l’amplitude au niveau des maxima de vibration (ventres) étant a=0.02m. Calculer la fréquence et l’amplitude de la force transversale exercée par le vibreur sur la corde. U.S.T.H.B Institut de Physique D.E.P.B 1996-1997 Epreuve de Rattrapage - Septembre 1997 Durée (2 heures) Exercice 1 : Partie Travaux Pratiques (/5 points) Le circuit symétrique ci-contre est alimenté par un signal sinusoïdal e(t). On donne L=0.1H. Les fréquences propres sont F1 et F2. Elles sont assimilables aux fréquences de résonance, car l’amortissement est supposé faible. En faisant varier C0, (F2)2 évolue selon le graphe représenté par la figure 1 de la page 3. 1°) Donner, à partir du graphe, la loi de variation de (F2)2 en fonction de 1 0 C . 2°) Soit K le coefficient de couplage du circuit . a) Expliquer ce que signifie K=0 et K=1 pour ce circuit. b) En déduire la fréquence propre F1 et la valeur de C ( à 1nF près). 3°) Sachant que K C C C = + 0 , écrire (F2)2 en fonction des paramètres F1 et K en utilisant les questions 1°) et 2°).b. Exercice 2 : (/8 points) Une corde semi-infinie de masse linéique µ a une tension T. Elle est terminée à son extrémité O par un système masse ressort (m, K). Le mouvement de la masse m entraîne l’apparition d’une onde transversale progressive sur la corde. On désigne par y(x,t) le déplacement d’un point de la corde d’abscisse x à l’instant t (voir schéma ci-contre). La masse et le ressort sont disposés sur un guide avec un frottement négligeable. On s’intéresse aux faibles déformations de la corde. 1°) Etablir la relation valable en tout point de la corde : ∂ ∂ ∂ ∂ y x x t V y t x t ( , ) ( , ) = −1 . On précisera l’expression de la vitesse de propagation uploads/s3/ examen-de-p3.pdf