Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2017/2018 MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch Chapitr

Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2017/2018 MPSI 4 – Mathématiques A. Troesch Chapitre 1 – Logique et raisonnements Manipulation d’expressions logiques formelles Exercice 1 – Soit R, S et T des propositions. Montrer à l’aide de tables de vérité, puis par un raisonnement déductif, ☆☆☆☆ que les propositions suivantes sont vraies : 1. R Ô ⇒(S Ô ⇒R). 2. (R Ô ⇒S) Ô ⇒((S Ô ⇒T ) Ô ⇒(R Ô ⇒T )). 3. (R ∨S) ⇐ ⇒((R Ô ⇒S) Ô ⇒S). 4. (R Ô ⇒(S ∨T )) ⇐ ⇒(S ∨¬R ∨T ). 5. (R Ô ⇒S) Ô ⇒((R ∧T ) Ô ⇒(S ∧T )). 6. (R ⇐ ⇒S) Ô ⇒((T Ô ⇒R) ⇐ ⇒(T Ô ⇒S)). Exercice 2 – ☆☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes. 1. ∀x ∈A, ∃y ∈B, (P(y) Ô ⇒Q(x,y)) ; 2. ∀x ∈A, ((∃y ∈B, P(y)) Ô ⇒Q(x,y)) ; 3. (A Ô ⇒(∀x, B(x))) ⇐ ⇒(∀y, C(y)) ; 4. A Ô ⇒((∀x, B(x)) ⇐ ⇒(∀y, C(y))) ; 5. A Ô ⇒(∀x, (B(x) ⇐ ⇒(∀y, C(y)))). Exercice 3 – Négations logiques ★☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes : 1. ((A ∨B) Ô ⇒C) Ô ⇒(D ∧E) ; 2. (A Ô ⇒B) ⇐ ⇒(A Ô ⇒¬C) ; 3. ∀x ∈E, ∃y ∈E, A(x,y) ∨B(x) ; 4. (∃x ∈E, A(x)) Ô ⇒(∀x ∈E, A(x)) ; 5. ∃x ∈E, A ⇐ ⇒(∃y ∈E, A(x,y) ∧B(y)) ; 6. ∃!x, A(x). Exercice 4 – Nier les propositions suivantes : ☆☆☆☆ 1. ∀x ∈A, ∃y ∈B, (x ∈C et (x,y) ∈D) ou x / ∈C. 2. ∀x,∃y,((x,y) ∈A Ô ⇒x ∈B). 3. ∀x,((∃y,(x,y) ∈A) Ô ⇒x ∈B). 4. (A et (B Ô ⇒C)) ⇐ ⇒(B Ô ⇒(A ⇐ ⇒C)). Quelle diﬀérence de sens faites-vous entre les phrases 2 et 3 ? Exercice 5 – Donner la contraposée des expressions suivantes : ☆☆☆☆ 1. (A et (B ou C)) Ô ⇒(B ou (A et C)). 2. (∃!x,(x ∈A et x ∈B)) Ô ⇒(∀y,∃!x,(x ∈A et (y −x) ∈B)). Raisonnements par l’absurde et la contraposée Exercice 6 – Soient n un entier strictement positif, et pn, s’il existe, le n-ième nombre premier. ★★☆☆ 1. Montrer qu’il existe une inﬁnité de nombres premiers (considérer p1p2⋯pn + 1) 2. Montrer que pour tout entier n strictement positif, pn ⩽22n−1. Exercice 7 – Soient a et n ⩾2 deux entiers. Montrer les assertions suivantes. ★★☆☆ 1 1. Si an −1 est premier, alors a = 2 et n est premier. 2. Si an + 1 est premier, où a ⩾2, alors n est pair. 3. Si an + 1 est premier, où a ⩾2, alors a est pair et n est une puissance de 2. Exercice 8 – Soit p un nombre premier. Montrer que √p est irrationnel. Généraliser à √n, pour n entier quelconque, ★☆☆☆ lorsque n n’est pas un carré parfait. Exercice 9 – Soit n ∈N∗. Soient x1,... ,xn+1 des points de l’intervalle [0,1]. Montrer qu’il existe (i,j) ∈[[1,n + 1]]2 ★★☆☆ tel que i ≠j et ∣xi −xj∣⩽1 n. Exercice 10 – (Autour des triplets pythagoriciens) Soit (a,b,c) un triplet pythagoricien, c’est à dire un élément de (N∗)3 tel que a2 + b2 = c2. On suppose que a, b et c n’ont pas de diviseur commun. Montrer que c est impair. Exercice 11 – (Rallye mathématique d’Alsace 2012) ★★★☆ Dans un plan sont placés 66 points distincts. On trace toutes les droites déterminées par deux de ces points et on en compte 2012 distinctes. Justiﬁer que parmi ces 66 points, 4 au moins sont alignés. Analyse-Synthèse Exercice 12 – Deux joueurs s’aﬀrontent de la manière suivante : au début du jeu, ils disposent 100 allumettes sur la ★★☆☆ table. Ils jouent chacun à leur tour. À chaque étape, le joueur qui joue enlève au choix de 1 à 7 allumettes. Le joueur qui retire la dernière allumette gagne. 1. Montrer que le premier joueur a une stratégie gagnante, et décrire cette stratégie. 2. Généraliser à un nombre n quelconque d’allumettes, les joueurs pouvant enlever de 1 à k allumettes à chaque tour ((k,n) ∈(N∗)2). Exercice 13 – ☆☆☆☆ 1. Trouver les solutions de l’équation √ x(x −3) = √ 3x −5, x ∈R. 2. De même avec l’équation (xx)x = xxx, x ∈R∗ + Exercice 14 – ★☆☆☆ 1. Montrer que toute fonction continue f ∶[0,1] Ð →R s’écrit sous la forme f = g + c où ∫ 1 0 g(t) dt = 0 et c ∈R. Cette décomposition est-elle unique ? 2. Montrer que toute fonction continue f ∶[0,1] Ð →R s’écrit sous la forme f = g + h, où h ∶x ↦ax + b est une fonction polynomiale de degré au plus 1, et où pour toute fonction polynomiale P de degré au plus 1, ∫ 1 0 P(t)g(t) dt = 0. Cette décomposition est-elle unique ? Si oui, exprimer g, a et b en fonction de f. Exercice 15 – Soit, pour tout x ∈R ∖{−1,1,2,5}, f(x) = 1 (x + 1)(x −1)(x −2)(x −5). ☆☆☆☆ En évaluant (x + 1)f(x) en un réel bien choisi, montrer qu’il existe des réels uniques a, b, c et d que l’on déterminera, tels que : ∀x ∈R ∖{−1,1,2,5}, f(x) = a x + 1 + b x −1 + c x −2 + d x −5. Exercice 16 – Soit X = (x1,... ,xn) un vecteur de Rn tel que x1 + ⋯+ xn ≠0. et soit H le sous-ensemble de Rn déﬁni ★☆☆☆ par : H = {Y = (y1,... ,yn) ∈Rn ∣y1 + ⋯+ yn = 0.} Montrer que tout vecteur Z de Rn se décompose sous la forme Z = λX + Y , où λ ∈R et Y ∈H. Justiﬁer que cette décomposition est unique. Exercice 17 – (d’après Rallye mathématique d’Alsace 2012) ★★★☆ 1. Mon code secret de téléphone portable est composé de quatre chiﬀres diﬀérents et tous non nuls. Quand j’eﬀectue la somme de tous les nombres possibles que je peux former avec deux de ces quatre chiﬀres (dans un sens ou dans un autre), je retrouve mon code. Quel est mon code ? 2 2. Oups, je m’étais trompé, il faut encore multiplier le résultat par 7 pour trouver mon code. Quel est mon code ? Récurrences Exercice 18 – Montrer que pour tout entier n positif, n4n+1 −(n + 1)4n + 1 est divisible par 9. ★★☆☆ Exercice 19 – Pour i1,⋯,in ⩾0 tels que i1 + ⋯+ in = k, on note ( k i1,⋯,in ) = k! i1!⋯in!. Par convention, ( k i1,⋯,in ) est ★★★☆ nul dans les autres cas. Montrer la formule du multinôme : ∀n ∈N, ∀(x1,⋯,xn) ∈Rn, ∀k ∈N, (x1 + ⋯+ xn)k = ∑ (i1,⋯,in)∈Nn tq i1+⋯+in=k ( k i1,⋯,in )xi1 1 ⋯xin n . Exercice 20 – Montrer que : ∀n ∈N∗, (2n 3 + 1 3)√n ⩽ n ∑ k=1 √ k ⩽(2n 3 + 1 2)√n. ★★★☆ En déduire la limite quand n tend vers l’inﬁni de la suite (un)n∈N∗déﬁnie pour tout n ∈N∗par : un = 1 n√n n ∑ k=1 √ k. Exercice 21 – (Suite harmonique) ★★☆☆ Soit Hn la suite harmonique, déﬁnie par : H0 = 0, et ∀n ∈N∗, Hn = n ∑ k=1 1 k . On rappelle que par convention, (n p) est nul si p > n. Montrer que : 1. ∀(m,n) ∈N2, n ∑ k=1 ( k m)Hk = (n + 1 m + 1)(Hn+1 − 1 m + 1), 2. ∀n ∈N∗, n ∑ k=1 Hk = (n + 1)Hn −n, 3. ∀n ∈N∗, n ∑ k=1 H2 k = (n + 1)H2 n −(2n + 1)Hn + 2n. Exercice 22 – (Multiplication par la méthode dite « du paysan russe ») ★★☆☆ On propose l’algorithme suivant. Soient m et n deux entiers. Sur une première ligne, on écrit côte à côte m et n. Sur la ligne suivante, on écrit le quotient de la division euclidienne de m par 2 (on oublie donc les décimales) sous la valeur de m, et on écrit 2n sous la valeur de n. On continue ainsi : dans la première colonne, on passe d’une ligne à l’autre en divisant par 2, dans la deuxième colonne, on multiplie par 2. On s’arrête lorsqu’on a obtenu 1 dans la première colonne. On barre ensuite toutes les lignes pour lesquelles le nombre situé dans la première colonne est pair. On fait enﬁn la somme des nombres situés dans la deuxième colonne et non barrés. On note ϕ(m,n) l’entier obtenu. Montrer que ϕ(m,n) = m ⋅n. Un exemple de mise en application de cet algorithme pour calculer 11 ⋅17 (les lignes à barrer sont en gris) 11 17 5 34 2 68 1 136 187 Exercice 23 – (Explicitation des suites récurrentes doubles) ★☆☆☆ Soit (un)n∈N une suite donnée par ses deux termes initiaux u0 et u1, et la relation de récurrence suivante : ∀n ∈N, un+2 = aun+1 + bun, où a et b sont deux réels ﬁxés. 1. On suppose que l’équation x2 −ax −b admet deux racines distinctes uploads/s3/ exo-01.pdf