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MNI5TÈRE DE L' ENSEIGNEMENT sUPÉREUR ET DE LA RECHERCI"IE SCIENTIFIQUE SECRETAR

MNI5TÈRE DE L' ENSEIGNEMENT sUPÉREUR ET DE LA RECHERCI"IE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GÉNÉRAL DI RECTION GÉNÉRALE DE L' ENSEIGNEMENT sUPÉREUR DIRECTION DE L'E}.I5EIGNE,IIENT sUPÉRIEUR s"M";;; r..."r.ure"t o ,',''..". '"'', I ',,i; , âTTA{JTR§$ B riC Cl ÀL Âl-l R [ ÀT n Ë L' fl ld5 t lü f"{ f Mfr i\i T û f Nf ft ê L SESS'ON 2022 o 8)CgW)F> Série 0ption Code matière Scientifique c 009 Épreuve de : ÊrtATl'lÊl,tATlQUES Durée : 4 heures Coefficient : 5 ô{ *o NB : - L'utilisation d'une machine calculatrice scientifique non programmable est autorisée. - L'exercice et les deux problèmes sont obligatoires. EXERCICE (04 points) Partie A : Un appareil ée.ieu est constitué de 5 cases numérotées de 1 à 5 et d'une seule boule. L'épreuve consiste à faire tomber la boule dans l'une de ces 5 cases t. On effectue une épreuve et on suppose qu'il existe un reel positif p tel que Pr. = (k + 1) p où Pt est la probabilité pour que la boule soit tombée dans la case numéro k avec ke {tr,2,3,4,5\ a) Déterminer le réel p (0,75Pt) (0,25pt) b) En déduire que pl : * t p, : i 2. Onrepète 3 fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve de la question 1) a) Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée une fois et une seule dans la case numéro I (0,5 pt) b) Calculer la probabilité pour que la boule soit tombée au moins 2 fois dans la case numéro 3 (0,5Pt) NB : donner les résultats sous forme de fraction rationnelle irréductible Eartie B Pour tout entier naturel n, on pose An = 54n+2 - 112n+2 L a) En utilisant une démonstration par récurrenee sur n, montrer que A{r est divisible par 4 (0,5 pt) b) A l'aide de congruence arithmétique, montrer que Aest divisible par 3 (0,5 pt) 2^ a) A,l'aide du théorème de Gauss, montrer que si un entier relatif N est divisible simultanément par deux entiers relatifs p et q premiers entre eux alors N est divisible par le produit pq. (0,75pt) b) Montrer que A* est divisible par 12 (0,25pt) PROBLEME I (07 points) Dans le plan orienté fl on considère le triangle équilatéral direct ABC tel que AB : 3 cm, on désigne par G l'isobarycentre des 3 points A, B, C. Soient BDEC un parallélogramme direct tel que eË:TC. Soient O le milieu du segment [AB] et F le point d'intersection de la médiatrice de [BD] avec la droite (AB). Soient : rr la rotation de centre A d'angle rz larotation de centreB d'angle T la transformation réciproque de rz t la translation de vecteur IZ S la similitude plane directe de centre A qui transforme le point B en E Onposef-.ro12etg=toT v 3 rt 3 Page 1/3 Partie A 1. Tracer le triangle AEIC et placer les points O, G, D, E et F 2. a) Quelle est la nature de la transformation f ? b) Décomposer rr et 12 en produit de deux symétries orthogonales convenablement choisies c) Donner les éléments caractéristiques de f 3. a) Donner la nahre et les éléments caractéristiques de T b) Caractériser g à I'aide de décomposition de la translation t et de la transformation T en produit de deux symétries orthogonales, dont l'un des axes est ia droite (BG) 4. Déterminer le rapport et l'angle de S Par{ie B Le plan 96est rapporté au repère orthonormé direct 1O,OÉ,i 1. i. I)éterminer les aff,rxes respectives des points A, B. C. E, 2. a) Donner l'expression complexe de chacune des transfbrmations rr et r: b) En deduire l'expression complexe de f 3. a) En utilisant les hypothèses S(A) .- A et S (B) - E, détenuiner 1'expression complexe de S b) Retrouver le rapport et l'angle de S à l'aide de son expression cornplexe (0,spt) (0,25pt) (0,5x2 pt) (û,5pt) (0,5pt) (0,75pt) (0,5pt) (0,5pt) (0.5x2pts) (0,5pt) (0,5pt) (0,5pt) PROBI-EME II points) @.a Sort / la forrution définie sur IR par : lFr.*l - f --N?exsix<o 1 ,./ . rlnfl+1 ) I I(x) : e"-"'-\^ 'x'si x > 0 Orr désignc plr 1f) la courbe de f dans un repère orthonormé (O.i i ) d'unité 2 cm. 1. Ir{otttrer que f est continue e1l rc : 0 (0.-s pt) 2. Etudier la dérivabilité à gaucire en x0 : 0 de la fbncticn f (0,25pt) 3. \'Iontrer que / n'es1 pas dérivable à droi.te elr rû : 0 (0,-5pt) 4. Calcuier ies llmites de / aux bornes de son r'nsemble de definition (pour la limite ûn -1-Ç*, on pourra poser x- 1 I (0,25+o,5pt) a) Détennner /'(;r) sur chacun des inten alles ] - co, 0l et I 0, +oo I où l-' est la fonction dérivée de / (0.5pt) b) pourroutx > û onpose g(x) - m(tn*) *;fr- 1. A l'aide rle l'étude de variation de la fbnction g, trcuver le sigre de g(x) puis de /'(x) sur I'intenalle 10, +oo1 (0,75pQ 5. Dresser le tableau de variation de f (0,75pt) 6. Tracer (€)enprécisant les derni-tangentes au point d'abscisse xo:0 (l pt) PartiLE Soit (Ur,) la suite définie par :Vn € N* Un= (! * )n+t. Soit <pr. la fonclion définie strr ]0, f æ[par : n*L n*2 çn{x) - lnlt + (n + r)rl - lnx oùa e N* Page2/3 1. a) hdontrer Que cpn admetun minimum dont on déterminera sa valeur en fonction de n b) En déduire que Vn € N* Vx € R; \{1} +Z )> an*1 (t ) +(r"f n*2 2" A l'aide de l'inégalité (l ) determiner le sens de variation de la suite (U" ) et montrer que (0.7spt) (1pt) (0,75 pt) (0,25 pt + 0,5 pt) (0,25pt) (0,5pt) (on pourra poser x = L clù re € Ns ) 3. a) Pour tout n € N*, établir I'inégalité ; S tt+7 f7 | -dt Jt tt Vn ËNt, UnZe b) Déduire des résultats des questions précédentes, l'étude de çonvergence de la suite (Ur,) 4. Calculer lirn U, ?z _r +co #mirÈ. a«mtffi]ffiæ+ Page 3/3 -t uploads/s3/ mathematique-c 2 .pdf