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Il ne s'agit pas d'un cours de mathématiques proprement dit, ce qui n'est pas notre but, mais de l'exposer des connaissances nécessaires à la bonne compréhension des différentes théories traitant de l'étude des circuits électroniques sans oublier l'informatiques. Nous considérons que les opérations élémentaires d'arithmétique sont connues, c'est-à-dire l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. L'esprit avec lequel seront traitées ces mathématiques ayant été précisé, nous allons vous présenter le contenu de notre première théorie. Le premier paragraphe est consacré aux formules. Qu'est-ce qu'une formule, comment la lire, comment s'en servir, c'est ce que nous apprendrons. Cela nous amènera tout naturellement au calcul littéral qui fait l'objet du second paragraphe. Nous compléterons nos connaissances d'arithmétique par l'étude d'une nouvelle opération : l'élévation à une puissance, à laquelle le troisième paragraphe est consacré. L'opération inverse, c'est-à-dire l'extraction de racine sera traitée dans le quatrième. Le cinquième, quant à lui, nous rappellera (ou nous apprendra) ce que sont les fractions, comment les simplifier, les additionner, les soustraire, les multiplier... Le sixième, quant à lui, nous verrons qu'une fraction peut parfois s'appeler un rapport. Enfin, toujours dans le même esprit de fractions ou de rapports, le septième et dernier paragraphe nous apprendra à manipuler les proportions. Dans votre intérêt, nous vous invitons à effectuer les exemples donnés, non pas seulement le jour de la lecture, mais aussi bien après celle-ci (plusieurs jours, semaines ou mois. En mathématiques, comme et beaucoup d'autres matières, rien ne vaut la pratique et la répétition pour bien comprendre et retenir. 1. - LES FORMULES L'usage des abréviations s'est très répandu. De nombreuses administrations, organisations industrielles, commerciales ou politiques, se font connaître par des sigles formés de quelques lettres que le public garde facilement en mémoire, même s'il oublie souvent leur signification exacte (SNCF, ERDF-GRDF, CNRS. L'habitude des abréviations est entré depuis très longtemps dans le domaine des sciences mathématiques, chimiques et physiques. Cela donne un degré de concision très élevé aux descriptions scientifiques ce qui est un avantage appréciable pour l'exactitude des calculs effectués. Voyons par quelles lettres il a été convenu de représenter certaines grandeurs électriques : Différence de potentiel, tension électrique : V ou U Capacité électrique : C Intensité du courant électrique : I Résistance électrique : R Quantité d'électricité : Q Résistivité : p (prononcer "RHÔ"), lettre R de l'alphabet grec) Les abréviations de ce type sont à la base de toutes les simplifications qu'il convient d'exécuter pour obtenir des expressions mathématiques. La méthode peut être étendue à la représentation de toutes les grandeurs apparaissant dans l'étude des phénomènes, à condition de toujours préciser la signification de chaque lettre, et de veiller ensuite, à n'utiliser chacune de celles-ci que pour indiquer la grandeur correspondante. Par conséquent, si nous avons établi par exemple que les lettres V, I et R représentent respectivement la tension, l'intensité du courant et la résistance d'un circuit électrique, nous ne pourrons pas, par la suite, attribuer à ces mêmes lettres une autre signification ou exprimer ces mêmes grandeurs par des lettres différentes. Chaque lettre de l'expression mathématique représente non seulement un type donné de grandeur, mais aussi toutes les valeurs possibles de cette grandeur. Par exemple la lettre V, utilisée pour indiquer la tension, peut signifier 1 volt, 25 volts, 220 volts... c'est-à-dire toutes les valeurs de tension possibles. De façon analogue, la lettre I utilisée pour indiquer l'intensité du courant, peut signifier 0,5 ampère, 2 ampères, 5 ampères... De même, la lettre R représentant la résistance du circuit peut signifier 3 ohms, 100 ohms, 10 000 ohms... Cette règle est valable pour toute autre lettre utilisée dans une expression mathématique. On retrouve également des nombres qui restent inchangés lorsque l'on assigne successivement aux lettres toutes les valeurs possibles. Ces nombres sont appelés coefficients. Il est évident que l'absence de tout signe ne peut se justifier lorsque, aucune confusion n'est possible, (c'est-à-dire +, -, x, :, / etc...), c'est le cas du calcul littéral dont il est question plus loin. 1. 2. - ÉTABLISSEMENT D'UNE FORMULE Voyons maintenant comment on obtient la simplification mathématique de l'énoncé d'une loi physique en prenant comme exemple : la loi d'Ohm. La loi d'Ohm est exprimée dans les formes suivantes : Lorsque la tension augmente, l'intensité du courant augmente ; On obtient la résistance en divisant la tension par l'intensité ; On obtient la tension en multipliant la résistance par l'intensité ; On obtient l'intensité en divisant la tension par la résistance. La première forme de l'énoncé (de couleur rouge) est purement descriptive et ne peut être traduite par une expression mathématique parce qu'elle ne précise pas dans quelle mesure l'intensité augmente lorsque la tension appliquée au circuit augmente. Au contraire, les trois expressions suivantes se prêtent à une traduction mathématique complète. Voici comment on procède dans chaque cas : 1 - On obtient la résistance en divisant la tension par l'intensité. On peut donc écrire : Résistance = Tension / Intensité Cela est le premier pas et aussi le plus important que l'on vient d'accomplir pour arriver à l'expression mathématique. Le suivant consiste simplement à remplacer les mots par des lettres. Si nous convenons de représenter la résistance par la lettre R, la tension par la lettre V et l'intensité par la lettre I, nous pouvons exprimer la relation précédente de la façon suivante : R = V / I Avec ce résultat, nous avons obtenu la simplification la plus poussée de la première partie de l'énoncé, en mettant bien en évidence l'opération qu'il faut exécuter pour obtenir la valeur de la résistance d'un circuit en connaissant les valeurs de la tension et de l'intensité. Les expressions de ce genre, qui contiennent des lettres (remplaçant les noms de grandeurs données), des symboles d'opérations (à effectuer avec les valeurs des grandeurs) et le symbole de l'égalité (qui exprime le lien existant entre une grandeur et les autres) sont appelées des formules mathématiques ou expressions littérales ou plus simplement formules. Lorsque la formule est obtenue, il suffit de s'en souvenir ainsi que de la signification exacte des lettres afin de pouvoir l'utiliser dans les calculs. L'application de la formule est très facile : il suffit de remplacer les lettres par les valeurs connues des grandeurs et d'exécuter les calculs. Prenons un exemple : Un circuit auquel on applique une tension (V) de 15 volts est parcouru par un courant d'intensité (I) de 3 ampères ; calculez d'après ces données, la résistance (R) de ce uploads/s3/ mathematiques-1ere-partie-les-formules.pdf