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Vue de dessus Vue de côté Exemple de centrifugeuse à 4 éprouvettes UIC Mécaniqu

Vue de dessus Vue de côté Exemple de centrifugeuse à 4 éprouvettes UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie Exercice 1 On s’intéresse à une centrifugeuse de laboratoire présentée ci-dessous, composée d’un bâti S0, d’un bras S1 et d’une éprouvette S2 contenant deux liquides de masses volumiques différentes. Sous l’effet centrifuge dû à la rotation du bras S1 l’éprouvette S2 s’incline pour se mettre pratiquement dans l’axe du bras. De fait, le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejeté au fond de l’éprouvette. Paramétrage du système :  R (O, ⃗ x ,⃗ y ,⃗ z ) est un repère lié à S0.  S1 est en liaison pivot d’axe (O ,⃗ x ) avec S0. Le repère R1(O,⃗ x1,⃗ y1,⃗ z1) est un repère lié à S1. On note α=^ (⃗ y ,⃗ y1) l’angle mesuré autour de ⃗ x1=⃗ x , tel que ⃗ Ω (S1/R )=´ α ⃗ x  S2 est en liaison pivot d’axe ( A,⃗ z1) avec S1. Le repère R2( A ,⃗ x2,⃗ y2,⃗ z2) est un repère lié à S2. On note β=^ (⃗ x ,⃗ x2) l’angle mesuré autour de ⃗ z1=⃗ z2 , tel que ⃗ Ω (S2/ R1)=´ β ⃗ z1  On donne ⃗ OA=a⃗ y1 et ⃗ AG=b⃗ x2 , où a et b sont des longueurs constantes positives. Calculer à l’aide de la formule de Varignon, la vitesse de G dans le référentiel R en fonction des données du problème (a, b, α, β, et les vecteurs des référentiels R , R1 et R2 ). Nous aurons besoin de l’expression de ⃗ x2 dans R1 : ⃗ x2=cos β ⃗ x1+sin β⃗ y1 CPI1 Correction Khôlle n°1 2014/2015 UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie Sachant : ⃗ Ω (S1/R )=´ α ⃗ x=´ α⃗ x1 ⃗ Ω (S2/ R1)=´ β ⃗ z1=´ β⃗ z2 On en déduit : ⃗ Ω (S2/ R)=⃗ Ω(S2/R1)+⃗ Ω(S1/R)=´ α ⃗ x+ ´ β ⃗ z1 On applique la formule de Varignon aux deux solides S1 et S2 : ⃗ V ( A∈S1/ R)=⃗ V (O ∈S1/ R)+⃗ Ω(S1/R)∧⃗ OA ⃗ V (G∈S2/R )=⃗ V ( A∈S2/R)+⃗ Ω(S2/R )∧⃗ AG Et on en déduit la vitesse de G par rapport à R : ⃗ V (G∈S2/R )=⃗ V (O ∈S1/ R)+⃗ Ω(S1/ R)∧⃗ OA+⃗ Ω(S2/R)∧⃗ AG=´ α ⃗ x∧a⃗ y1+( ´ α ⃗ x+ ´ β⃗ z1)∧b⃗ x2=´ α⃗ x1∧a⃗ y1+ ´ α⃗ x1∧ CPI1 Correction Khôlle n°1 2014/2015 UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie Exercice 2 On considère un hélicoptère (figure ci-dessous) se déplaçant à vitesse uniforme ⃗ V=v⃗ ex le long de l'axe (O ,⃗ ex) fixe dans le référentiel R (O ,⃗ e x,⃗ e y,⃗ ez ) . Les 3 pales de l'hélice ont une longueur R et tournent à la vitesse angulaire ω=dθ dt . Le référentiel lié à l’hélicoptère est noté R' (A ,⃗ ex,⃗ e y ,⃗ ez) . Le référentiel lié aux pales de l’hélicoptère est noté R' ' (A ,⃗ er ,⃗ eθ,⃗ ez) . En utilisant la formule de Varignon, exprimer dans R , la vitesse du point M situé à l'extrémité d'une pale (voir figure ci-dessous) en fonction des données du problème (v, R, , � et les vecteurs des référentiels R , R' et R' ' ). L’hélicoptère étant en translation, tous ses points ont la même vitesse : ⃗ V (A∈R' / R)=⃗ V =v ⃗ ex On applique donc la formule de Varignon aux pales de l’hélicoptère uniquement : ⃗ V (M ∈R' ' /R )=⃗ V (A∈R' '/ R)+⃗ Ω(R' '/ R)∧⃗ AM=⃗ V +ω⃗ ez∧R⃗ er=v ⃗ ex+Rω⃗ eθ CPI1 Correction Khôlle n°1 2014/2015 UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie Exercice 3 On s'intéresse à une éolienne représentée par le schéma cinématique et la photo ci-dessous. Le mât est bien entendu fixe. Le corps tourne autour de l’axe vertical sous l’influence du vent. La girouette se charge d’orienter l’éolienne dans la direction du vent. Ainsi, les pales sont toujours entraînées en rotation par le vent et transmettent la puissance mécanique au générateur électrique. Ce système est constitué de trois solides :  Le mât 0 : de repère associé R0 (O ,⃗ x0,⃗ y0,⃗ z0) , fixe par rapport au sol tel que l'axe (O ,⃗ z0) , soit orienté suivant la verticale ascendante  La girouette 1 a la faculté de pouvoir tourner par rapport au mat 0 autour de l’axe (O ,⃗ z0) . Soit R1(O,⃗ x1,⃗ y1,⃗ z1) le repère associé à la girouette 1, on poseα=^ (⃗ x0,⃗ x1) , tel que ⃗ Ω (R1/ R0)=´ α⃗ z0 et ⃗ OB=a⃗ x1  Les pales 2 possèdent la faculté de pouvoir tourner par rapport à la girouette 1 autour de l’axe (B,⃗ x1) . Soit R2(B,⃗ x2,⃗ y2,⃗ z2) le repère associé aux pales 2, de telle façon que l’axe (B,⃗ z2) soit confondu avec l’axe ⃗ BG des pales. On pose θ=^ (⃗ z1,⃗ z2) , tel que ⃗ Ω (R2/ R1)=´ θ⃗ x1 et ⃗ BG=b⃗ z2 a et b sont des longueurs constantes positives. Exprimer la vitesse du point G en utilisant la formule de Varignon et en fonction des données du problème (a, b, α, �, et les vecteurs des référentiels R0 , R1 et R2 ). CPI1 Correction Khôlle n°1 2014/2015 girouette α � UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie Nous aurons besoin de l’expression de ⃗ z2 dans R1 : ⃗ z2=cosθ⃗ z1−sin θ⃗ y1 Sachant : ⃗ Ω (R1/ R0)=´ α⃗ z0=´ α ⃗ z1 ⃗ Ω (R2/ R1)=´ θ⃗ x1=´ θ⃗ x2 On en déduit : ⃗ Ω (R2/ R0)=⃗ Ω(R2/R1)+⃗ Ω(R1/R0)=´ α ⃗ z1+´ θ⃗ x2 On applique la formule de Varignon aux deux solides 1, la girouette et 2, les pales : ⃗ V (B∈R1/R0)=⃗ V (O∈R1/ R0)+⃗ Ω(R1/ R0)∧⃗ OB ⃗ V (G∈R2/R0)=⃗ V (B∈R2/ R0)+⃗ Ω(R2/ R0)∧⃗ BG Et on en déduit la vitesse de G par rapport à R : ⃗ V (G∈R2/R0)=⃗ V (O ∈R1/ R0)+⃗ Ω(R1/ R0)∧⃗ OB+⃗ Ω (R2/ R0)∧⃗ BG=´ α ⃗ z1∧a⃗ x1+( ´ α⃗ z1+ ´ θ⃗ x2)∧b ⃗ z2=a ´ α⃗ y1+ ´ α⃗ z1∧ CPI1 Correction Khôlle n°1 2014/2015 UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie Exercice 4 Une roue, de rayon r, roule à l'intérieur d'un cylindre fixe de rayon R, (R > r). La position du centre C de la roue est repérée par l'angle � (voir figure). La distance ‖⃗ OC‖ est maintenue constante par un bras solide. On suppose que l'axe de symétrie de la roue reste parallèle à l'axe du cylindre (la roue reste dans un plan perpendiculaire à l'axe ⃗ uz du cylindre). On notera :  R (O,⃗ ux,⃗ u y,⃗ uz) le référentiel terrestre lié également au cylindre  R' (O ,⃗ uR,⃗ uθ,⃗ uz) le référentiel lié au bras solide  R' ' (C ,⃗ ur,⃗ uα ,⃗ uz) le référentiel lié à la roue  ⃗ ur le vecteur lié à la roue tel que ⃗ CM=r⃗ ur  α l’angle entre ⃗ ux et ⃗ ur . Calculer le vecteur vitesse ⃗ V (M / R) en utilisant la formule de Varignon et en fonction des données du problème (R, r, �, α, et les vecteurs des référentiels R , R' et R' ' ). CPI1 Correction Khôlle n°1 2014/2015 Bras solide UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie CPI1 Correction Khôlle n°1 2014/2015 UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie Sachant : ⃗ Ω (R' / R)=´ θ ⃗ z ⃗ Ω (R' ' / R)=´ α ⃗ z On applique la formule de Varignon aux deux solides S’ et S’’ : ⃗ V (C ∈R'/ R)=⃗ V (O ∈R' /R )+⃗ Ω(R' /R )∧⃗ OC ⃗ V (M ∈R' ' /R )=⃗ V (C∈R' ' /R )+⃗ Ω(R' ' /R )∧⃗ CM Et on en déduit la vitesse de M par rapport à R : ⃗ V (M ∈R' ' /R )=⃗ V (O∈R' / R)+⃗ Ω (R' / R)∧⃗ OC+⃗ Ω (R ' '/ R)∧⃗ CM=´ θ ⃗ z∧(R−r )⃗ uR+ ´ α ⃗ z ∧r ⃗ ur=(R−r ) ´ θ⃗ uθ+r ´ α⃗ u CPI1 Correction Khôlle n°1 2014/2015 O O1 R r M UIC Mécanique du Solide École d’Ingénierie Exercice 5 Un manège d'enfants, comportant quatre capsules, tourne à une vitesse de rotation ⃗ Ω1=ω1 ⃗ z , avec ω1= ´ θ1 . Sur la plateforme, les quatre capsules tournent également autour de leurs axes respectifs (O1,⃗ z) à une vitesse de rotation ⃗ Ω2=ω2 ⃗ z , avec ω2=´ θ2>0 . Les axes (O1,⃗ z) sont situés à une distance R de O, telle que ⃗ OO1=R ⃗ x1 . Les enfants s’installent à quatre par capsule. Soit un enfant installé dans une capsule de centre O1 en M, tel que ⃗ O1M=r⃗ x2 . Nous utiliserons les trois référentiels suivants :  R0 (O ,⃗ x0,⃗ y0,⃗ z) : lié à la T erre  R1(O,⃗ x1,⃗ y1,⃗ z) : lié au uploads/s3/ mecanique-de-solide-td.pdf