M´ ecanique - Vecteurs et cin´ ematique Exercice corrig´ e : Fonctionnement d’u

M´ ecanique - Vecteurs et cin´ ematique Exercice corrig´ e : Fonctionnement d’une fronde L. Le Marrec, IRMAR, loic.lemarrec@univ-rennes1.fr September 23, 2020 Sujet (correction au verso) Lorsqu’on utilise une fronde, on fait croˆ ıtre la vitesse de rotation au cours du temps, jusqu’` a ce qu’elle atteigne une valeur constante. Une fronde ` a une longueur r d’environ 1 m, la vitesse de rotation g´ en´ eralement admise est de 2 tours/s. Pour ´ etudier ce principe, on suppose pour l’instant que l’angle de rotation est une fonction quelconque du temps θ(t) et l’on d´ ecrit le probl` eme en coordonn´ ees polaires. Pour les variations en temps on utilisera la notation de Leibniz : ˙ θ = d θ d t et ¨ θ = d2 θ d t2 . 1. Donnez l’expression g´ en´ erale du vecteur position, vitesse et acc´ el´ eration en fonction de θ. 2. Exprimez ces composantes si la vitesse angulaire est de la forme ˙ θ = αt. 3. On suppose que l’on atteint 2 tours/s au bout de 10 s, en d´ eduire α. Combien de tours la fronde a-t-elle fait ? 4. A quelle vitesse est eject´ ee la pierre si ˙ θ = 2 tours/s. 1 Correction Lorsqu’on utilise une fronde, on fait croˆ ıtre la vitesse de rotation au cours du temps, jusqu’` a ce qu’elle atteigne une valeur constante. Une fronde ` a une longueur r d’environ 1 m, la vitesse de rotation g´ en´ eralement admise est de 2 tours/s. Pour ´ etudier ce principe, on suppose pour l’instant que l’angle de rotation est une fonction quelconque du temps θ(t) et l’on d´ ecrit le probl` eme en coordonn´ ees polaires. Pour les variations en temps on utilisera la notation de Leibniz : ˙ θ = d θ d t et ¨ θ = d2 θ d t2 . 1. Donnez l’expression g´ en´ erale du vecteur position, vitesse et acc´ el´ eration en fonction de θ. On a comme vecteur position r(t) = rer. Dans notre cas r est une constante mais le vecteur er change de direction en fonction de θ et donc au cours du temps. Il est donc important de connaitre sa variation. A cet effet on commence par exprimer les vecteurs er et eθ dans la base cart´ esienne: er = cos (θ) ex + sin (θ) ey, eθ = −sin (θ) ex + cos (θ) ey Comme¸ cons par consid´ erer les variations de er et eθ quand θ change: ∂er ∂θ = −sin (θ) ex + cos (θ) ey, ∂eθ ∂θ = −cos (θ) ex −sin (θ) ey Bref on trouve ∂er ∂θ = eθ, ∂eθ ∂θ = −er Cons´ eid´ erons maintenant les variations en fonction du temps. Sachant que θ(t) on a ∂er ∂t = ∂θ ∂t ∂er ∂θ = ˙ θ eθ, ∂eθ ∂t = ∂θ ∂t ∂eθ ∂θ = −˙ θ er. Nous sommes en mesure de calculer le vecteur vitesse v = d r d t = d rer d t = rd er d t = r ˙ θ eθ Mais aussi le vecteur position a = d v d t = d r ˙ θ eθ d t = r d ˙ θ d t eθ + ˙ θd eθ d t ! = r  ¨ θ eθ −˙ θ2 er  2. Exprimez ces composantes si la vitesse angulaire est de la forme ˙ θ = αt. Si ˙ θ = αt alors ¨ θ = α. Remarquons que α est en radian/s2. Et donc les composantes de l’acc´ el´ eration dans la base polaire sont (−r(αt)2, rα) car a = −r(αt)2 er + rα eθ Si on veut donner les composantes de α dans la base cart´ esienne, c’est pas compliqu´ e en effet: a = −r(αt)2 er + rα eθ = −r(αt)2 (cos (θ) ex + sin (θ) ey) + rα (−sin (θ) ex + cos (θ) ey) = −r(αt)2 cos (θ) −rα sin (θ)  ex + −r(αt)2 sin (θ) + rα cos (θ)  ey les composantes sont donc : (−r (αt)2 cos (θ) + α sin (θ)  , r −(αt)2 sin (θ) + α cos (θ)  ) dans la base cart´ esienne. 3. On suppose que l’on atteint 2 tours/s au bout de 10 s, en d´ eduire α. Combien de tours la fronde a-t-elle fait ? Comme 1 tour correspond ` a 2π radians, alors 2 tours/s correspond ` a 4π radians/s. Il s’agit en r´ ealit´ e de la norme de la vitesse angulaire. On a donc | ˙ θ| = |α|t = 4π au bout de 10 secondes: quand t = 10 s. Donc α = ±4π/10 ≃1.25 radian/s2. Le signe de α d´ epend du sens de rotation. A priori cela ne joue pas. 4. A quelle vitesse est eject´ ee la pierre si ˙ θ = 2 tours/s La vitesse est tout simplement ∥v∥` a t = 10 s, soit r|α|10 = 8π m/s car la corde fait 2 m. On a donc environ v ≃25 m/s. 2 uploads/s3/ l1-meca-td2-exercicecorrige.pdf

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Administrationvitesse rotation fonction vecteur fronde
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