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Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion 2PC 1 Les ondes dans

Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion 2PC 1 Les ondes dans les solides et La Dispersion Une onde peut être considérée comme la manifestation du comportement propagatif des vibrations affectant un système possédant un grand nombre de degré de liberté. Dans ce chapitre, nous étudions le comportement vibratoire d’une chaîne d’oscillateurs mécaniques constituée d’un nombre infini N de masses. Les vibrations vont se propager depuis le point où elles ont pris naissance suite à une perturbation initiale. I) L’équation d’onde 1) Mise en évidence de l’équation d’onde Pour mettre en évidence la structure mathématique du phénomène ondulatoire, nous allons étudier le système constitué d’une chaîne infinie d’oscillateurs identiques composés de masses m et de ressorts de raideurs K montés en série (Figure 1). Nous supposerons dans un premier temps que les masses ne peuvent se mouvoir que dans la direction longitudinale. Nous supposerons également que les longueurs d’ondes des vibrations sont “grandes” par rapport à l’espacement moyen entre les masses. En notant a la longueur naturelle de chaque ressort à l’équilibre, et Xn l’écart de la masse numéro n par rapport à sa position d’équilibre, on peut établir l’équation du mouvement de la masse numéro n qui interagit uniquement avec les premiers proches voisins : On constate que l’équation du mouvement pour la masse n implique la position de la masse n à travers la fonction et sa dérivée seconde . Cependant, cette équation différentielle contient aussi une dépendance par rapport aux positions des masse voisines à travers les fonctions et . Les équations différentielles régissant l’évolution des masses sont donc couplées. Il est donc nécessaire de découpler ces équations. Adoptons à présent les notations indiquées sur la Figure 2 : La fonction X est désormais une fonction continue dépendant des deux variables x et t, et nous l’échantillonnons aux positions x-a et x+a et à l’instant t. On prendra donc garde à remplacer les dérivées simples par rapport au temps t par des dérivées partielles. Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion 2PC 2 L’équation du mouvement devient alors : On a supposé que a est “petit”, ce qui permet d’effectuer les développements limités suivants: Grâce à ces développements limités, on est maintenant capable de relier les positions des masses voisines à travers une unique fonction X : Cette équation peut être réécrite sous la forme : Avec Cette équation aux dérivées partielles est l’équation d’onde ou équation de d’Alembert. Cette équation relie la dérivée seconde par rapport au temps (t) et la dérivée seconde par rapport à la variable d’espace (x). Le fait que la fonction X (position d’une masse située en x au cours du temps t) vérifie cette équation signifie que X possède une structure d’onde. En d’autres termes, la perturbation X se propagere dans l’espace au cours du temps, et varie en fonction du temps en tout point fixe de l’espace. Il en va de même pour la force, la vitesse, l’accélération : toutes ces fonctions, qui sont reliées à X ou à ses dérivées, ont une structure d’onde. Le paramètre c est homogène à une vitesse : c’est la célérité de l’onde. En rappelant que est la pulsation propre de l’oscillateur élémentaire, on trouve que . Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion 2PC 3 2) Ordres de grandeurs : On peut évaluer l’ordre de grandeur de la célérité des ondes dans le modèle de la chaîne d’atomes et la comparer avec l’ordre de grandeur de la célérité des ondes sonores dans les solides qui vaut typiquement quelques milliers de mètres par seconde. Pour estimer la raideur K, on suppose que l’ordre de grandeur de l’énergie de liaison par atome est l’eV donc de l’ordre de 10-19 J et que cette énergie est de la forme élastique où . On trouve . Avec , on obtient : Soit un ordre de grandeur tout à fait satisfaisant. Dans chacun des deux exemples (chaîne d’atomes et corde vibrante), on constate que la célérité est une fonction croissante de la raideur du milieu (K ou F) et décroissante de l’inertie du milieu (m ou μ). On peut retenir, plus généralement que : « Des ondes mécaniques se propagent d’autant plus mal que le milieu est plus mou et plus inerte. » II. Application à la chaîne d’oscillateurs 1) Relation de dispersion Repartons à présent de l’exemple de la chaîne d’oscillateurs (Figure 1), et essayons de décrire le comportement vibratoire du système lorsque celui-ci est traversé par une OPPH. Nous avions jusqu’à présent supposé que la distance a séparant deux masses successives était “petite”, ce qui a permis de montrer que la perturbation de la position de chaque masse par rapport à sa position d’équilibre (la variable X) obéit à l’équation d’onde. Implicitement, ce type d’onde correspond à une onde dont la longueur d’onde est très supérieure à la distance a. Relâchons à présent cette hypothèse, afin de pouvoir nous intéresser à des longueurs d’onde pouvant être du même ordre de grandeur que a. Le cas “a petit” sera retrouvé ultérieurement en passant à la limite (approximation acoustique). En notant la position de la masse numéro n, l’équation du mouvement (équation 1) peut être réécrite : En introduisant la pulsation propre de l’oscillateur élémentaire constitué d’un unique ensemble {ressort ; masse}, cette équation prend la forme : Nous cherchons les solutions de cette équation sous la forme : Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion 2PC 4 où est la position courante de la masse numéro n le long de l’axe (Ox). Si l’on note sa position d’équilibre, on a : En d’autres termes, est une perturbation de la position . Puisque ; on a : , et : On en déduit : D’où : Cette manipulation a permis de modifier l’équation décrivant l’OPPH (équation (**)) de telle sorte que celle-ci ne dépend plus de la variable continue x mais plutôt de la variable discrète na. Cela équivaut à considérer que la fonction continue décrite dans l’équation (**) doit être échantillonnée tous les xn = na afin de trouver la position courante de la masse numéro n par rapport à sa position d’équilibre. La conséquence immédiate de cette manipulation, qui découle de la nature discrète du système, est que les longueurs d’ondes inférieures à l’espacement a entre deux masses successives (hautes fréquences) seront trop petites pour pouvoir être décrites par le système, et ne pourront être distinguées de longueurs d’ondes beaucoup plus grandes que a, de plus basses fréquences (Figure 3). L’équation (*) devient alors : Cette dernière équation relie (au carré près) le vecteur d’onde k et la pulsation Elle permet d’aboutir à la relation de dispersion : Cette équation peut également être mise sous la forme : Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion 2PC 5 Dans ces conditions, la propagation sans absorption d’une onde pour k réel n’est possible que si . Le système présente donc un comportement de type passe-bas : les oscillations dont la pulsation excède la pulsation propre de l’oscillateur élémentaire ne peuvent pas se propager au sein du système sous la forme d’une onde. Cette propriété découle directement du comportement passe-bas de l’oscillateur élémentaire. Par ailleurs, on constate que, du fait de la périodicité en au sein de la relation de dispersion : Pour Par conséquent, pour toute onde produite par un valeur quelconque de k’, il est possible de retrouver un mouvement relatif identique des masses les unes par rapport aux autres pour un unique k dans l’intervalle . Cet intervalle est appelé la première zone de Brillouin. Il suffit de restreindre l’étude des fonctions (k) ou à cette intervalle de valeurs de k pour décrire complètement le comportement de la chaîne d’oscillateurs pour tout type d’oscillations. Figure 4: Représentation de la courbe de dispersion dans la zone de Brillouin. 2) Notion de zone de Brillouin. Le motif constituant la chaîne étant périodique de période a, le mouvement de l'ensemble des éléments de la chaîne est inchangé si le vecteur d'onde k est remplacé par : La propagation peut donc être entièrement décrite par des valeurs de k comprises dans l'intervalle . Cet intervalle est appelé zone de Brillouin. 3) Vitesse de phase - vitesse de groupe Sur la courbe de dispersion, on peut suivre graphiquement l'évolution de la vitesse de phase : et de la vitesse de groupe . Pour un point donné (k, ), est la pente de la corde issue de l'origine et la pente de la tangente en ce point. Ahmed Chouket Les ondes dans les solides et La Dispersion 2PC 6 Pour de faibles valeurs de k, ces deux pentes ont une même limite . Dans cette zone, correspondant à des longueurs d'onde grandes devant a, la dispersion est négligeable et et sont confondus. Lorsque, au contraire, k s'approche de π/a, limite de la zone de Brillouin, la vitesse de phase diminue et la vitesse de groupe tend vers zéro. Pour k=π/a, ce qui correspond à une longueur d'onde uploads/s3/ ondes-mecanique.pdf