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MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC N

MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Notations On note le segment de et l’espace préhilbertien complexe des fonc- tions continues sur à valeurs complexes muni du produit scalaire : . Pour tout nombre complexe n’appartenant pas à l’intervalle , on note l’unique nombre réel appartenant à l’intervalle tel que . Pour et , Questions préliminaires a) Déterminer le développement en série entière au point de la fonction : , et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue. b) Pour , on pose . Montrer que la fonction : : , est déﬁnie sur . c) Montrer que est une racine carrée de la fonction , autrement dit, pour tout , . d) Montrer que : , . Que vaut lorsque ? On pourra dorénavant noter pour . I 1 – 1 [ , ] IR E I f g ( , ) f g ( ) a f t ( )g t ( ) t d I ∫ = z ] ∞ – 0 , ] Arg z ( ) ] π – π , [ z z eiArg z ( ) = n p ( , ) IN2 ∈ p n ≤ Cn p n p ⎝⎠ ⎛⎞ n! p! n p – ( )! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = = 0 ] ∞ – 1[ , IR → x 1 1 x – - - - - - - - - - - - - - - - - a n IN ∈ an 1 22n - - - - - - - - 2n n ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ϕ I C I C → z anzn n 0 = ∞ ∑ a Δ z I C z ∈ 1 < { } = ϕ Δ I C → z 1 1 z – - - - - - - - - - - - a z Δ ∈ ϕ z ( ) ( )2 1 1 z – - - - - - - - - - - - = z ∀ Δ ∈ ϕ z ( ) 1 1 z – - - - - - - - - - - - - - - - - - - -e i 2 - - - – Arg 1 z – ( ) = ϕ x ( ) x ] 1 – 1 , [ ∈ ϕ z ( ) 1 z – ( ) 1 – 2 ⁄ = z Δ ∈ Concours Centrale-Supélec 2006 2/6 Filière PC MATHÉMATIQUES I Filière PC e) Cette question est indépendante des précédentes. Pour tout entier naturel , prouver l’existence d’une fonction polynomiale telle que, pour tout réel , on a . Partie I - I.A - Montrer que, pour tout , la fonction : , déﬁnie par : est l’unique solution sur d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefﬁcients polynomiaux prenant la valeur en . On donnera cette équation différentielle : (E) : où et sont des polynômes unitaires en . I.B - I.B.1) Vériﬁer que pour et on a , puis où est une combinaison linéaire à coefﬁcients positifs d’applications de la forme où . Préciser la valeur de . I.B.2) Montrer que pour et , on a où est un polynôme à coefﬁcients réels. I.B.3) Montrer que pour et , on a , puis que pour et , (1) avec convergence normale sur où . I.B.4) Montrer que la suite vériﬁe , et pour , (2) I.B.5) Déterminer pour tout le degré et la parité de . Déterminer le coefﬁcient dominant de , ainsi que et . n Hn θ Hn θ cos ( ) nθ cos = t I ∈ ψt ] 1 – 1 , [ IR → x f t x , ( ) a ψt x ( ) 1 2xt x2 + – ( ) 1 – 2 ⁄ = ] 1 – 1 , [ 1 0 a t x , ( )y′ b t x , ( )y + 0 = a b x x ]-1,1[ ∈ θ IR ∈ Ψ θ cos x ( ) ϕ xeiθ ( )ϕ xe iθ – ( ) = Ψ θ cos x ( ) Gn θ ( )xn n 0 = ∞ ∑ = Gn θ eikθ a k Z Z ∈ Gn 0 ( ) n IN ∈ θ IR ∈ Gn θ ( ) Pn θ cos ( ) = Pn n IN ∈ θ IR ∈ Gn θ ( ) Gn 0 ( ) ≤ t 1 – 1 , [ ] ∈ x ]-1,1[ ∈ f t x , ( ) Pn t ( ) n 0 = ∞ ∑ xn = 1 – 1 , [ ] a – a , [ ] × a ]0 1[ , ∈ Pn ( )n 0 ≥ P0 t ( ) 1 = P1 t ( ) t = n 1 ≥ 2n 1 + ( )tPn t ( ) n 1 + ( )Pn 1 + t ( ) nPn 1 – t ( ) + = n IN ∈ Pn Pn Pn 1 ( ) Pn 1 – ( ) MATHÉMATIQUES I Filière PC Concours Centrale-Supélec 2006 3/6 I.C - I.C.1) Soit et deux éléments distincts de . Calculer et simpliﬁer la dérivée de la fonction déﬁnie sur par : : après avoir vériﬁé qu’elle est bien déﬁnie. En déduire la valeur de l’intégrale : pour tout couple d’éléments de . I.C.2) Montrer que : pour tout couple d’éléments de . On admettra sans démonstration l’identité suivante : I.C.3) a) Pour tout couple d’éléments de établir que : . b) On ﬁxe dans l’intervalle . Montrer que, pour tout couple appar- tenant à : la série convergeant normalement sur tout l’ensemble de la forme avec . Conclure que : . c) En écrivant que, pour tout , , prouver que, pour tout : . d) Conclure que a b ]1 +∞ , [ 1 – 1 [ , ] h t ln a t – ( ) b t – ( ) + 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - a t – ( ) b t – ( ) – a t d a t – ( ) b t – ( ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 – 1 ∫ a b ( , ) ]1 +∞ , [ f t x ( , )f t y ( , ) t d 1 – 1 ∫ 1 xy - - - - - - - - - -ln 1 xy + 1 xy – - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = x y ( , ) ]0 1 , [ 2 xy 1 x – ( ) 1 y – ( ) x y + ( ) 1 xy + ( ) 4xy + – 1 xy + ( ) 2 2 xy x y + ( ) – ( ) = x y ( , ) ]0 1 , [ 1 xy - - - - - - - - - -ln 1 xy + 1 xy – - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 2n 1 + - - - - - - - - - - - - - - - -xnyn n 0 = ∞ ∑ = y ]0 1 , [ t x ( , ) I ]0 1 , [ × f t x ( , )f t y ( , ) Pn t ( )f t y ( , )xn n 0 = ∞ ∑ = I ]0 a , ] × a ]0 1 , [ ∈ Pn t ( )f t y ( , ) t d 1 – 1 ∫ 2 2n 1 + - - - - - - - - - - - - - - - - yn = t y ( , ) I ]0 1 , [ × ∈ f t y , ( ) Pm t ( )ym m 0 = ∞ ∑ = n IN ∈ Pn t ( )Pm t ( ) t d 1 – 1 ∫ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ym m 0 = ∞ ∑ 2 2n 1 + - - - - - - - - - - - - - - - - yn = Pn t uploads/s3/ centrale-supelec-pc-2006-maths-1-epreuve.pdf