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Page 1 Chapitre 2 : Structures Algébriques Ce chapitre, sur les Structures Algé

Page 1 Chapitre 2 : Structures Algébriques Ce chapitre, sur les Structures Algébriques, est la base du programme d’algèbre. Les concepts qui y seront vus vous seront nécessaires tout au long des trois semestres d’algèbre et apparaîtront même dans le programme d’analyse mathématique. Par : Cours 2 : Structures algébriques par AIT AMRANE R. (2011-2012). Résumé par : BELFODIL Aymen & BELFODIL Adnane Page 2 TABLE DES MATIERES 1. Lois de compositions internes ........................................................................................... 4 1.1. Définition : LCI (Loi de Composition Interne) ......................................................... 4 1.2. Définition : LCI Stable .................................................................................................. 4 1.3. Propriétés : ..................................................................................................................... 5 1.3.1. Associativité : .......................................................................................................... 5 1.3.2. Commutativité : ...................................................................................................... 5 1.3.3. élément neutre : ...................................................................................................... 5 1.3.4. élément Symétrique : ............................................................................................. 5 1.4. Autres Notions : ............................................................................................................ 5 1.4.1. élément absorbant : ................................................................................................ 5 1.4.2. élément simplifiable: .............................................................................................. 5 1.4.3. élément neutre à gauche (resp. à droite) : ........................................................... 5 1.4.4. élément Symétrique à gauche (resp. à droite) : .................................................. 6 2. Groupes ................................................................................................................................. 7 2.1. Définition : Groupe ....................................................................................................... 7 2.2. Théorème : ..................................................................................................................... 8 2.3. Sous-Groupes ................................................................................................................ 9 2.3.1. Définition 1 : ............................................................................................................ 9 2.3.2. Définition 2 : ............................................................................................................ 9 2.3.3. Théorème : ............................................................................................................... 9 2.4. Morphisme de Groupe : ............................................................................................. 10 2.4.1. Définition : ............................................................................................................. 10 2.4.2. Proposition 1 : ....................................................................................................... 10 2.4.3. Proposition 2 : ....................................................................................................... 10 2.4.4. Noyau et Image d‟un Morphisme : ................................................................... 11 3. Anneaux .............................................................................................................................. 13 3.1. Définition : Loi distributivité : .................................................................................. 13 3.2. Définition : Anneau : .................................................................................................. 13 3.3. Proposition 1 : .............................................................................................................. 14 3.4. Proposition 2 : .............................................................................................................. 14 Page 3 3.5. Sous-Anneau : ............................................................................................................. 15 3.6. Morphisme d‟Anneau : .............................................................................................. 15 3.7. Binôme de Newton et autres : ................................................................................... 15 4. Corps : ................................................................................................................................. 16 4.1. Définition 1 : ................................................................................................................ 16 4.2. Définition 2 : ................................................................................................................ 16 4.3. Sous-Corps : ................................................................................................................. 17 4.4. Morphisme de Corps : ................................................................................................ 17 Page 4 1. LOIS DE COMPOSITIONS INTERNES 1.1. DEFINITION : LCI (LOI DE COMPOSITION INTERNE) Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne (Opération interne) sur E, une application de E x E dans E qu‟on note ,qui à tout couple fait correspondre un élément de noté REMARQUE : la loi de composition interne peut être noté par ou autres symboles Exemple : Les lois de compositions internes les plus courantes sont : 1. addition, multiplication sont des lois internes sur et . 2. composition des applications de dans noté . 3. intersection, réunion dans ; ensembles des parties de l‟ensemble . 1.2. DEFINITION : LCI STABLE Soit un ensemble, un sous ensemble de . On dit qu‟une loi de composition interne sur est stable dans si et seulement si Exemple : “+” addition, multiplication dans sont des lois de composition stable dans . la “ ” division est une loi de composition interne dans n‟est pas stable dans On a Page 5 1.3. PROPRIETES : Soit un ensemble, une Loi de composition interne dans 1.3.1. ASSOCIATIVITE : associative dans 1.3.2. COMMUTATIVITE : commutative dans 1.3.3. ELEMENT NEUTRE : admet un élément neutre dans 1.3.4. ELEMENT SYMETRIQUE : Un élément de admet un symétrique dans relativement à si et seulement si : . 1.4. AUTRES NOTIONS : 1.4.1. ELEMENT ABSORBANT : Soit un LCI sur E, un élément est dit absorbant relativement à ssi : , cette élément est en plus unique et non symétrisable. Preuve : 1. Soient deux éléments absorbants distincts de donc : et remplaçons par dans (1) et par dans (2), et ainsi ce qui est absurde. 2. il est évident que , on suppose que symétrisable donc , comme est absorbant on a ce qui est absurde. 1.4.2. ELEMENT SIMPLIFIABLE: Soit un LCI sur E, On dit que est un élément de E est simplifiable ssi : (Simplifiable à Gauche) et (Simplifiable à Droite) Remarque : Tout élément symétrisable est simplifiable. 1.4.3. ELEMENT NEUTRE A GAUCHE (RESP. A DROITE) : On dit que est neutre à gauche (resp. neutre à droite) ssi (resp. . Page 6 1.4.4. ELEMENT SYMETRIQUE A GAUCHE (RESP. A DROITE) : On dit que est symétrisable à gauche (resp. à droite) ssi : (resp. . Page 7 2. GROUPES 2.1. DEFINITION : GROUPE Soit un ensemble, une Loi de composition interne dans . On dit que le couple (E, ) est un de groupe (i.e. : que définit une stucture de groupe sur E), si et seulement si : 1. 2. Loi de composition interne dans 3. est associative 4. élément neutre relativement a 5. élément symetrique de relativement a REMARQUE : si la loi est commutative, on dit alors que est un groupe commutatif (abélien). Exemple : 1. est un groupe ou, et „ la multiplication de , 1 est l‟élément neutre. 2. et sont des groupes, mais n‟est pas un groupe, 0 n‟a pas de symétrique. 3. est un groupe, mais n‟est pas un groupe, 2 n‟a pas de symétrique. REMARQUE : 1. Dans un groupe , ou la loi “ ” est une loi additive, on dit alors que est un groupe additif, l‟élément neutre est noté “ ”, le symétrique d‟un élément est noté “ ” de plus pour , l‟élément est noté ou n est le nombre de dans l‟addition. En plus si on a . 2. Dans un groupe , ou la loi “ ” est une loi multiplicative , on dît alors que est un groupe multiplicatif, l‟élément neutre est noté “1”, le symétrique d‟un élément est noté “ ” de plus pour , l‟élément est noté ou n est le nombre de dans l‟addition. En plus si on a . 3. Dans la pratique le groupe est désigné par et cela sous-entend que est muni d‟une LCI qui définit sur une structure de groupe. Page 8 2.2. THEOREME : dans un groupe , l‟élément neutre est unique, de plus tout élément admet un unique élément symétrique dans E. Preuve : Soit un groupe Supposant qu‟il existe deux éléments neutres dans E relativement à . Alors, on a ainsi De plus, supposant qu‟un élément dans admet deux éléments symétriques dans . Alors, on a et Ainsi, on déduit que, et puisque est associative, on obtient ainsi REMARQUE : soit ( ) un groupe, le symétrique de ) : Preuve : On a ( ) groupe ainsi associative, on considère le symétrique de ainsi : Donc Page 9 2.3. SOUS-GROUPES 2.3.1. DEFINITION 1 : Soit un groupe, son élément neutre, une partie non vide de . On dit que est un sous-groupe de E, si et seulement si est un groupe. 2.3.2. DEFINITION 2 : Soit un groupe, son élément neutre, une partie non vide de . On dit que est un sous-groupe de E, si et seulement si : 1. 2. stable sur 3. symétrique de dans pour 2.3.3. THEOREME : Soit un groupe, une partie non vide de . est un sous-groupe de E, si et seulement si : 1. 2. Preuve : On va utiliser la Définition 2 du Groupe (Définition 2 Théorème) : ( 1. on a donc 2. comme groupe alors stable et ainsi ( 1. ? Pour 2. élément symétrique ? Comme remplaçons par ainsi 3. stable dans ? Comme , donc en prenant en utilisant son symétrique dans (2) on obtient Page 10 2.4. MORPHISME DE GROUPE : 2.4.1. DEFINITION : Soit , deux groupes et une application. On dit que est un morphisme de groupes (homomorphisme) de groupes, si et seulement si, . On dit que est un isomorphisme de groupes, si et seulement si, est un morphisme de groupes bijectif. On dit que est un endomorphisme de groupes, si et seulement si, est un morphisme de groupe et . On dit que est un automorphisme de groupes, si et seulement si, est un endomorphisme de groupes bijectif. 2.4.2. PROPOSITION 1 : Soient , deux groupes et homomorphisme. Soient , les éléments neutres de et respectivement alors Preuve : d‟où ainsi 2.4.3. PROPOSITION 2 : Soient , deux groupes et homomorphisme. Soit , son symétrique alors Preuve : d‟où ( ) ainsi : Remarque : Dans un groupe l‟élément neutre commute avec les éléments de , mais il suffit de prouver qu‟un seule coté pour pour déduire que est un élément neutre (même chose pour le symétrique) cela revient en fait à l’Axiome faible d’un groupe. Page 11 2.4.4. NOYAU ET IMAGE D’UN MORPHISME : Définition : Soit , deux groupes et un morphisme. On appelle noyau de : On appelle noyau de : Théorème : 1. 2. 3. injective Preuve : 1,2 : Voir les propositions précédentes. 3 : Soit injective, comme , Soit / ( comme injective on a d‟où de 1 on déduit . On suppose que et soit d‟où ainsi d‟où ainsi donc ainsi injective. Proposition : Soient , deux groupes et homomorphisme. 1. l‟image d‟un sous-groupe de est un sous-groupe de . 2. L‟image réciproque d‟un sous-groupe de B est un sous-groupe de . 3. Si surjective Preuve : 1 : Soit un sous-groupe de a- On a comme d‟où . uploads/s3/ chap2-strcturesalgebriques-pdf.pdf