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Transformée de Laplace et fonction de transfert Enseignant : R Bouhennache 1 Ma

Transformée de Laplace et fonction de transfert Enseignant : R Bouhennache 1 Matière : Systèmes asservis Chapitre I : Transformée de Laplace et modélisation des systèmes 1 – DEFINITIONS : On appelle système linéaire, un système tel que si le signal d’entrée x1(t) donne y1(t) en sortie, et x2(t) donne y2(t), alors, le signal d’entrée est : c1 x1(t) + c2 x2(t) donne c1 y1(t) + c2 y2(t) en sortie. Pour tout couple de constantes c1 et c2. On dit qu’un terme est linéaire s’il est du premier degré dans les variables dépendantes et leurs dérivées. Aussi, on dit qu’une équation différentielle est linéaire si elle consiste en une somme de termes linéaires. Toutes les autres équations différentielles sont dites non linéaires. Exemple d’un système du premier ordre : Equation différentielle du 1er ordre. 2 –Représentation d’un système par une équation différentielle La plupart du temps, on représente un système dynamique linéaire continu monovariable d’entrée u(t) et de sortie y(t) par une équation différentielle à coefficients constants de la manière suivante: où :* les coefficients ai et bi sont des constantes réelles, telles que ac, an, b0 et bm soient non nuls, * n et m sont des entiers positifs tels que m ≤ n pour que le système soit causal; n est l’ordre du système, * c est un entier positif ou nul appelé classe du système. Cette équation différentielle est une représentation entrée/sortie du système. La solution de cette équation représente l’évolution de la sortie du système y(t) au cours du temps en fonction de l’entrée u(t) et de conditions initiales. Exemple 1 : Considérons le circuit RLC ci-dessous : On veut déterminer la relation liant u(t) (tension d’alimentation) et y(t) (le courant i(t)). L’équation de maille donne : Exemple 2 : La Figure 2 montre une suspension de masse M dont on veut définir la relation liant le déplacement linéaire y(t) (sortie) et la force f(t) (entrée). L’équation de Newton donne : 3- Transformée de Laplace : Un autre outil où manière plus aisé pour résoudre une équation différentielle et la remplacer par une expression algébrique est bien la Transformée de Laplace. Définition : A toute fonction f(t) tel que f(t)=0 lorsque t<0, on fait correspondre une fonction F(p) de variable complexe p = j appelée transformée de Laplace de f(t). F(p) = L [f(t)], f(t) = L-1 [F(p)] F(p) : Transformée de Laplace. f(t) : Image de F(p) Exemple 1 : Calculer la transformée de Laplace de f(t) : f (t) = 1 pour t>0 et f (t) = 0 pour t<0 Remarque : d’autre écriture où notation de la TL est de remplacer p par s et la définition de la TL devient Exemple 2 : Transformée de Laplace et fonction de transfert Enseignant : R Bouhennache 3 3- QUELQUES PROPRIETES DES TRANSFORMEES DE LAPLACE a- Somme de deux fonctions f1(t) et f2(t) transformables [3] : L [f1(t)] = F1(p) et L [f2(t)] = F2(p) alors L [f1(t) + f2(t)] =F(p) = F1(p) + F2(p) b- Linéarité : Si f(t) = a f1(t) + b f2(t) alors F(p) = aF1(p) + bF2(p) c- Dérivée : Si L [f(t)] = F(p) et L [df(t)/dt] = F’(p) alors F’(p) = pF(p)-f(0) d- Dérivée multiple : Fn(p)= L [dnf(t) / dtn] alors Fn(p) = pn F(p)-pn-1 f(0)-pn-2 f’(0)-……………..-fn-1(0) Par exemple : Transformée de Laplace d’une primitive Soit P(t) une primitive d’une fonction f (t) et F( p) la transformée de Laplace de cette fonction. On a : Théorème du retard : Considérons la fonction f (t - t), autrement dit la fonction f (t) à laquelle on a fait subir un changement d’origine des temps (figure 3), autrement dit un retard d’un temps t. f (t - t) → F( p) e- pt Table des transformées : La transformée de Laplace permet donc de transformer le problème du domaine du temps au domaine de la fréquence. Lorsqu’on obtient la réponse voulue dans le domaine de la fréquence, on transforme le problème à nouveau dans le domaine du temps, a l’aide de la transformée inverse de Laplace. Le diagramme de la figure 4 illustre ce concept. L’avantage principal d’analyser des circuits de cette façon est que les calculs sont beaucoup plus simples dans le domaine de Laplace. Dans le domaine de Laplace, les dérivées et intégrales se combinent`a l’aide de simples opérations algébriques ; pas besoin d’équations différentielles. 4-Signaux usuels et leurs transformées de Laplace 1/ La fonction échelon : La fonction échelon est une fonction très utilisée. C’est la fonction o`u il y a une dis-continuité e à l’origine. Par exemple, lorsqu’on allume une source de tension DC, il y a un changement abrupte de la tension ; c’est une fonction échelon. La figure 5 illustre la fonction échelon. Elle est 0 pour t <0. On représente la fonction échelon par le symbole u(t). On peut multiplier la fonction échelon par une constante K quelconque pour obtenir un échelon d’amplitude voulue. La définition mathématique de la fonction échelon est : On peut multiplier la fonction échelon par une constante K quelconque pour obtenir un échelon d’amplitude voulue. La définition mathématique de la fonction échelon est : Si K= 1, on appelle ceci la fonction échelon unitaire.Une application de la fonction échelon est qu’elle permet d’écrire mathématiquement l’expression d’une fonction qui est différente de 0 pour une période fixe. Une application très commune en génie électrique est un pulse de durée fixe, comme à la figure 6. Transformée de Laplace et fonction de transfert Enseignant : R Bouhennache 5 Dans ce cas, on peut écrire la fonction comme f(t) =u(t−1)−u(t−3). On peut considérer ceci comme un échelon qu’on “active” à t= 1 puis un deuxième échelon négatif à t= 3 qui permet de “désactiver” le premier échelon. Exemple : Utiliser des fonctions échelon pour écrire une expression pour la fonction de la figure suivante. ayant des points d’intersections à 0, 1, 3 et 4s. Pour construire l’expression voulue, il faut ajouter et soustraire des échelons aux endroits appropries. 1. Pour 0< t <1, on a la fonction 2t. 2.A t= 1, on doit allumer la fonction−2t+ 4 et l’eteindre`at= 3 3. A t= 3, on doit allumer la fonction 2t−8 et l’eteindre à t= 4.On obtient alors comme fonction : f(t) = 2t[u(t)−u(t−1)]+ (−2t+ 4)[u(t−1)−u(t−3)]+ (2t−8)[u(t−3)−u(t−4)] Ou, en groupant les termes u(t−a) : f(t) = 2tu(t) + (−4t+ 4)u(t−1) + (4t−12)u(t−3)−(2t−8)u(t−4). 2/ La fonction impulsion : On rencontre assez souvent, lors de l’étude de circuits, des pulses qui ont des durées très courtes. Ces pulses peuvent se produire lors d’une opération de commutation, ou lorsque des circuits sont excites par des sources impulsionnelles. De plus, l’impulsion est un outil mathématique très utile, comme on verra plus tard. Il nous faut donc une façon pour représenter ce genre de signal. Il existe plusieurs façons pour représenter une impulsion ; on utilisera ici l’approche d’un signal triangulaire, comme`a la figure 7. Remarquer que le triangle est symétrique. Par rapport à l’origine, et que la valeur maximale est Pour obtenir une vraie impulsion, il faudra que Qu’arrive-t il alors`a cette fonction triangulaire lorsque ? On retrouve trois caractéristiques importantes : 1. L’amplitude approche l’infini. 2. La durée du pulse se rapproche de 0. 3. La surface du triangle est constante et égale`a 1.On utilise la notation δ(t) pour démontrer une impulsion. Mathématiquement, la fonction impulsion (qu’on appelle aussi fonction de Dirac) est défini par : Si l’impulsion se produit à un temps t=a, on écrit δ(t−a). La transformée de Laplace de la fonction impulsion : 5-Application de la transformée de Laplace : On va maintenant utiliser la transformée de Laplace pour analyser des circuits électriques. Soit le circuit RLC de la figure 8. On suppose que l’énergie initiale du système est nulle. On veut trouver v(t) pout t≥0. On peut écrire directement l’équation que la tension v(t) doit satisfaire pour decrire le comportement du circuit si on fait la somme des courants au nœud supérieur : Transformée de Laplace et fonction de transfert Enseignant : R Bouhennache 7 Noter qu’on ajoute le terme u(t) pour l’équation de ICC pour indiquer l’effet de la commutation. Maintenant il suffit d’appliquer les transformées opérationnelles à l’équation précédente pour les transformer dans le domaine de Laplace : ce qui est une équation algébrique en fonction de s. On peut enlever le terme v(0−) puisqu’on a dit que l’énergie initiale du système est 0. Si on isole (s) dans l’ équation précédente, on obtient Pour déterminer v(t), il faut faire la transformée inverse de l’expression de V(s). On note cette opération de la façon suivante : 6-Transformée inverse par décomposition en éléments simples L’expression de V (s) obtenue dans la section précédente est une fonction rationnelle de s : c’est le rapport de deux polynômes de s. Pour des circuits linéaires comprenant des Composantes discrètes R, L ou C constantes, l’expression de la tension ou du courant dans ces circuits sera toujours une fonction rationnelle de s. Si on peut inverser n’importe quelle fonction rationnelle de s, uploads/s3/ chapitre-1-systemes-asservis.pdf