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Spéciale PSI - Cours "Electronique des signaux et systèmes" 1 Approfondissement

Spéciale PSI - Cours "Electronique des signaux et systèmes" 1 Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires Chapitre III : Réponse indicielle d’un système linéaire Les analyses fréquentielle et temporelle conduisent, l’une et l’autre, à la fonction de transfert H(p) des systèmes. La première utilise les aspects fréquentiels de la réponse s(t) et la seconde ses aspects temporels. 1. Déﬁnitions 1.1. Echelon • On appelle échelon unité ou fonction de Heaviside que l’on notera u(t), la fonction déﬁnie par : u(t) = u(t) = 0 pour t < 0 u(t) = 1 pour t ≥0 • La réponse indicielle d’un système est le signal en sortie su (t) lorsque l’entrée e(t) est un échelon unité u(t). Selon le nature physique de e(t) on donnera à ”1” la dimension nécessaire ou mieux, on utilisera le signal e(t) = E.u(t) ; la réponse du système est alors s(t) = E.su(t)(t) car le système est linéaire. • Etudier la réponse à l’échelon u(t) consiste à observer l’eﬀet d’une discontinuité ﬁnie du signal d’entrée. Cette discon- tinuité n’est qu’un modèle mathématique : elle correpond à un signal d’entrée dont le temps d’établissement est très inférieur aux temps caractéristiques du système. Pour un système stable, la sortie tend vers un état d’équilibre pour t →+∞; cet état est caractérisé par le fait que les dérivées successives par rapport au temps de s(t) tendent vers 0 (cela correspond au cas pratique de l’établissement d’un régime permanent continu) ; Nous admettons le résultat suivant : la valeur ﬁnale de la réponse su(t)(t) à l’échelon u(t) est donnée par : limt→+∞su(t)(t) = limp→0 H(p) 1.2. Temps de réponse à 5% et temps de monté • Le temps de réponse à 5%, noté tr, est le temps nécessaire pour que la sortie du système évolue jusqu’à ce que son écart à la valeur ﬁnale soit déﬁnitivement inférieur à 5% de l’écart entre la valeur initiale et la valeur ﬁnale. • Le temps de monté de 10% à 90% est la durée tm nécessaire pour que la sortie du système passe de 10% à 90% de sa valeur ﬁnale. • Si la sortie du système sort à certains instants de l’intervalle [valeur initiale, valeur ﬁnale], on dit qu’il y a dépassement. On l’évalue en pourcentage de l’écart entre valeurs initiale et ﬁnale. 1.3. Erreur statique L’erreur statique εs, ou erreur de position, d’un système est l’écart e(t) −s(t) en régime permanent, lorsque le signal d’entrée est un signal échelon e(t) = E.u(t): εs = limt→+∞[E.u(t) −s(t)] 1.4.Equation diﬀérentielle Soit un système linéaire stable dont la fonction de transfert est H(p) = S(p) E(p) = n i=0 ai.pi m k=0 bk.pk ; les signaux d’entrée et de sortie sont alors liés par l’équation diﬀérentielle n i=0 ai. die dti = m k=0 bk. dks dtk . Il faut alors résoudre cette équation en tenant compte des conditions initiales. Les étapes de cette résolution sont : • recherche du régime libre s1(t) correspondant à la solution générale de l’équation diﬀérentielle sans second membre ; cette solution tend vers 0 pour un temps inﬁni. • recherche du régime forcé s2(t) correspondant à une solution particulière de l’équation diﬀérentielle complète ; cette solution est constante. On eﬀectue tout d’abord la somme de ces deux solutions s(t) = s1(t) + s2(t) puis on détermine les constantes d’intégration à l’aide des conditions initiales en utilisant éventuellement les propriétés ci-dessous : • la tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue du temps, • le courant circulant dans une bobine est une fonction continue du temps. Dans les paragraphes suivants nous rappelons les principaux résultats concernant les réponses indicielles des ﬁltres du 1er et du 2nd ordre. Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre III : Réponse indicielle d’un système linéaire 2 2. Cas du 1er ordre Revoir le cours de première année et notamment : - étude générale de la réponse, - excitation en courant, en tension, cas du circuit RC et RL, - bilan énergétique. Les ﬁltres étudiés dans la suite du cours sont supposés être initialement au repos. 2.1. Passe-bas d’ordre un • La fonction de transfert est de la forme H(p) = Ho 1+τp • ce qui correpond à l’équation diﬀérentielle τ ds(t) dt + s(t) = Ho.e(t) • la solution est alors s(t) = Ho.E.(1 −e−t τ ) • l’erreur statique est εs = E(1 −Ho) • il n’y a pas de dépassement et le temps de réponse à 5% est τ r ≈3τ. Tracé de s(t) Ho.E en fonction de t/τ Exercice n◦01 : Démontrer les résultats précédents. 2.2. Passe-haut d’ordre un • La fonction de transfert est de la forme H(p) = Hoτp 1+τp • ce qui correpond à l’équation diﬀérentielle τ ds(t) dt + s(t) = Ho.τ. de(t) dt • la solution est alors s(t) = Ho.E.e−t τ • l’erreur statique est εs = E • il n’y a pas de dépassement et le temps de réponse à 5% est τ r ≈3τ. On notera la discontinuité de la réponse indicielle en t = 0. Tracé de s(t) Ho.E en fonction de t/τ Exercice n◦02 : Soit un ﬁltre linéaire de fonction de transfert H (p) = 1+β p 1+a β p ave a = 0, 2 et β = 1 ms. 1) Déterminer à partir de l’équation diﬀérentielle, puis en utilisant la transformation de Laplace, la réponse indicielle du ﬁltre. 2) Tracer la réponse obtenue et déterminer les limites en 0+ et en +∞; interpréter. Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre III : Réponse indicielle d’un système linéaire 3 3. Cas du 2nd ordre Revoir le cours de première année et notamment : étude générale de la réponse, excitation en courant, en tension, cas du circuit RLC, régime apériodique, critique, pseudopériodique, pseudopériode, décrément logarithmique, bilan énergétique. Le ﬁltre étudié est un passe bas d’ordre deux supposé être initialement au repos (les ﬁltres passe bas sont plus intéressant pour la réponse indicielle). Réponse d’un passe-bas du second ordre, initialement au repos, à un échelon (tracé de s(t) H0.E en fct de ω0t avec σ = 0, 2 ; 0, 5 ; 0, 7 ; 1 ; 1, 1 ; 1, 5 ; 4) • La fonction de transfert est de la forme H(p) = Ho 1+2στp+τ2p2 (rappel 2σ = 1/Q) • ce qui correpond ∀t > 0 à l’équation diﬀérentielle : τ2 d2s(t) dt2 + 2στ ds(t) dt + s(t) = Ho.E ou d2s(t) dt2 + 2σωo ds(t) dt + ω2 os(t) = Ho.ω2 o.E avec ωo = 1/τ • la solution est : — si σ > 1 alors s(t) = Ho.E.[1 −e−σωot chωt + σωo ω sh ωt ] avec ω = ωo √ σ2 −1 (régime apériodique) — si σ = 1 alors s(t) = Ho.E.[1 −e−ωot (1 + ωot)] (régime critique) — si σ < 1 alors s(t) = Ho.E.[1 −e−σωot cos ωt + σωo ω sin ωt] avec ω = ωo √ 1 −σ2 (régime pseudopériodique) • l’erreur statique est εs = E(1 −Ho) • dépassement : — en régime apériodique et critique (σ ≥1) la réponse s(t) croît vers sa valeur asymptotique limt→+∞s(t) = HoE sans jamais la dépasser. Il n’y a pas de dépassement. — en régime pseudopériodique (σ < 1) la réponse s(t) dépasse régulièrement sa valeur asymptotique. Deux pics consécutifs sont séparés par une pseudopériode T = 2π/ω. Il en résulte un dépassement D(σ) = smax−HoE HoE = exp −σπ/ √ 1 −σ2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tracé du dépassement D en fonction de σ Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre III : Réponse indicielle d’un système linéaire 4 • temps de réponse : le ﬁltre passe bas d’ordre deux, initialement au repos est soumis à un échelon d’amplitude E. On recherche le temps de réponse tr à 5% en fonction du facteur d’amortissement σ ; Pour chaque valeur de σ, tr est donné par l’équation ∀t > tr on a 0, 95 ≤s(t) HoE ≤1, 05 cette équation ne peut être résolu que numériquement ; nous obtenons alors les courbes ci-dessous. On remarque que : — le temps de réponse tr à 5% est minimal pour σ = 0, 69+ — pour σ > 0, 69 le temps de réponse tr à 5% varie continûment avec σ — pour σ < 0, 69 le temps de réponse tr à 5% présente des discontinuité. Justiﬁcation des discontinuités : elles apparaîssent pour σ = 0, 69, 0, 43...Elles sont explicables graphiquement en obser- vant les réponses à l’échelon pour deux systèmes d’amortissement proches (ﬁgure ci dessous) : dès qu’un des extréma relatifs de la réponse atteint la valeur ﬁnale augmentée ou diminuée de 5%, le moindre accroissement du facteur d’amortissement entraîne une diminution brutale du temps de réponse. Remarque : les tracés de s(t) pour diﬀérentes valeurs de σ correspondent au cas très particulier (mais le plus courant) où le système est initialement au repos. Dans le cas général on obtient : Approfondissement de l’électronique des systèmes linéaires. Chapitre uploads/s3/ elecsysteme-chapitre-03.pdf