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Chapitre 3 Cours MMC 13 Chapitre 3 Notation indicielle 0- Introduction générale

Chapitre 3 Cours MMC 13 Chapitre 3 Notation indicielle 0- Introduction générale II est parfaitement possible mais peu commode de présenter la théorie de la mécanique des milieux continus sans faire appel aux tenseurs. Dans le cadre de ce cours, nous ne donnerons pas de définition rigoureuse et générale de l'être mathématique appelé tenseur. Nous nous contenterons de donner le sens physique des tenseurs dans le cas particulier de l'espace euclidien à trois dimensions en axes cartésiens. Dans le cas de la Physique, la notion de tenseur est intimement liée à la définition de la grandeur représentée et à la façon dont cette grandeur se transforme dans un changement de coordonnées. 0.1.- Scalaires, vecteurs Scalaires : Un scalaire est défini par un seul nombre et indépendant des axes de référence donc indépendant de toute notion d'orientation). Citons parmi les grandeurs scalaires : masse, densité, température, volume. Vecteurs : Par opposition aux scalaires, il existe des grandeurs physiques très différentes, les vecteurs, qui sont inséparables de la notion de direction : C'est le cas par exemple d'une force ou de l'intensité du champ électrique, le gradient de température en un point. 1. Convention de sommation, indice muet Considérons la somme:      1 1 2 2 3 3 ... n n s a x a x a x a x ..... (1.1) On peut écrire cette équation dans une forme compacte en utilisant le symbole de sommation:   1 n i i i s a x .... (1.2) Il est clair que les équations suivantes ont exactement le même sens que la précédente:   1 n j j j s a x ... (1.3)   1 n m m m s a x ... (1.4) Les indices i, j, m sont des indices muets, car la somme ne dépend pas de la lettre utilisée. Nous pouvons simplifier l'écriture de l'équation 1.3 en adoptant la convention suivante: Chapitre 3 Cours MMC 14 Quand un i indice est répété une fois c'est un indice muet, indiquant une sommation sur cet indice allant de 1 à n. Cette convention est connue comme la convention d'Einstein, donc la formule 1.3 s'écrit en forme compacte: (1.5) On note que Seulement il faut préciser que la convention de sommation est utilisé que si l'indice est répété une fois, se n'est pas le cas de la formule suivante:   1 n i i i i s a b x Qui doit conserver le symbole de sommation. Dans ce qui suit on prend souvent n=3 dans par exemple on a:          1 1 2 2 3 3 11 22 33 1 1 2 2 3 3 i i ii i i a x a x a x a x a a a a a e a e a e a e La convention de sommation peut aussi être utilisée pour exprimer une double sommation, ex on peut écrire:    3 3 1 1 ij i j i j a x x ... (1.7) Comme suit: ij i j a x x ... (1.8) L'expression (1.8) donne une somme de 9 termes c.-à-d.            1 1 2 2 3 3 11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2 23 2 3 31 3 1 32 3 2 33 3 3 + ij i j i i i i i i a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x a x x .... (1.9) Similairement pour la triple somme:     3 3 3 1 1 1 ijk i j k i j k a x x x ... (1.10) qui s'écrit ijk i j k a x x x ... (1.11) c'est une somme de 27 termes. Les expressions suivantes ne représentent pas des sommations:    3 3 1 1 ii i j j i j a x x x Ou     3 3 3 1 1 1 ijk i i j k i j k a x x x x 2. Indice libre Considérons le système d'équation suivant: 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 ' ' ' = x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x         … (2.1) Chapitre 3 Cours MMC 15 En utilisant la convention de sommation cette équation s'écrit: 1 1 2 2 3 3 ' ' ' = m m m m m m x a x x a x x a x   … (2.2) Qui peut être écrite comme suit: ' ; 1,2,3 i im m x a x i   … (2.3) Un indice qui apparait seulement une foi dans une équation est appelé indice libre, un indice libre prend alternativement les valeurs 1, 2, 3. Donc l'équation (2.3) représente trois équations dont chacune est la somme de trois termes. Un autre exemple ' ; 1,2,3 i im m e Q e i   … (2.4) Qui s'écrit comme suit: 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 3 31 1 32 2 33 3 ' ' ' = e Q e Q e Q e e Q e Q e Q e e Q e Q e Q e         … (2.5) Notons que ' ; 1,2,3 j jm m x a x j   équivaut l'équation (2.3) de même que ' ; 1,2,3 j jm m e Q e j   avec (2.4). mais ai= bj n'a aucun sens. L'indice libre qui apparait dans chaque terme de l'équation doit être le même. Donc les équations suivantes sont valables. ai+ki= cj ai+bi cj dj =0 S'il apparait deux indices libre dans une équation comme: ; 1,2,3, 1,2,3 ij im jm T A A j i    … (2.6) Cette expression représente un système de neuf équations de trois termes comme suit: 11 1 1 11 11 12 12 13 13 12 1 2 11 21 12 22 13 23 13 1 3 11 31 12 32 13 33 33 3 3 31 31 32 32 33 33 = ...................................................................... = m m m m m m m m T A A A A A A A A T A A A A A A A A T A A A A A A A A T A A A A A A A A               3. Symbole de Kronecker Le symbole de Kronecker δij, est définit par: Chapitre 3 Cours MMC 16 1 0 ij si i j si i j       … (3.1) En autre terme la matrice qui représente le symbole de Kronecker est la matrice unité: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ij                                    … (3.2) On note les propriétés suivantes: a) 11 22 33 1 1 1 3 ii            … (3.3) b) im m i a a   … (3.4) c) im mj ij T T   … (3.5) d) et im mj ij im mn nj ij        … (3.6) e) Pour les vecteurs d'une base orthonormée on a: i j ij e e    … (3.7) 4. Symbole de permutation (Levy- Cevita) Le symbole de permutation εijk, est définit par: 1 , , 1 , , 0 , , ijk si i j k forment une permutation paire si i j k forment une permutation impaire si i j k ne forment pas une permutation        … (4.1) On a: 123 231 312 132 321 213 111 121 223 1 1 ... 0                    Notons que: ijk jki kij jik ikj kji            … (4.2) Pour les vecteurs d'une base orthonormée on a: 1 2 3 2 3 1 2 1 3 1 1 , , , 0, .... e e e e e e e e e e e  uploads/s3/ chapitre-3-calcultensoriel.pdf