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Les houles périodiques simples Institut des Sciences de l'Ingénieur de Toulon e

Les houles périodiques simples Institut des Sciences de l'Ingénieur de Toulon et du Var UNIVERSITE DE TOULON ET DU VAR par Jean BOUGIS 1993 Les ondes périodiques simples 01 - Introduction Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 01 - 2 / 3 Sommaire 1. Introduction 01-05 2. Les modèles de houle 02-01 2.1. Différents modèles de houle 02-01 2.2. Paramètres de description de la houle 02-02 2.3. Classification des modèles de houle 02-03 3. Houle infinitésimale d'Airy 03-01 3.1. Hypothèses et définitions 03-01 3.2. Construction de la fonction potentiel des vitesses 03-01 3.3. Equation de la surface libre 03-04 3.4. Champ de pression 03-05 3.5. Cinématique de la houle 03-06 3.5.1. Expression des vitesses 03-06 3.5.2. Expression des accélérations 03-07 3.5.3. Lignes de courant 03-08 3.5.4. Trajectoires 03-09 3.6. Energie de la houle 03-11 3.6.1. Energie potentielle de la houle 03-12 3.6.2. Energie cinétique de la houle 03-12 3.6.3. Energie totale de la houle 03-13 3.6.4. Répartition verticale de l'énergie de la houle 03-13 3.6.5. Transmission de l'énergie par la houle 03-15 3.6.6. Vitesse de propagation de l'énergie 03-17 3.6.7. Conservation du flux d'énergie 03-17 3.6.8. Signification de la vitesse de groupe 03-18 3.6.9. Domaine de validité de la houle d'Airy 03-19 4. Houle d'amplitude finie 04-01 4.1. Hypothèses et définitions 04-01 4.2. Construction de la fonction potentiel des vitesses 04-02 4.3. Equation de la surface libre 04-05 4.4. Champ de pression 04-07 4.5. Cinématique de la houle 04-07 4.5.1. Expression des vitesses 04-07 4.5.2. Expression des accélérations 04-09 4.6. Autres caractéristiques de la houle 04-10 4.7. Houles du troisième ordre 04-11 4.8. Houles de Miche 04-12 4.9. Domaine de validité 04-12 5. Houle de Gerstner 05-01 5.1. Equation de continuité 05-01 5.2. Champ de pression 05-02 5.3. Equation de la surface libre 05-04 5.3.1. Surfaces isobares 05-04 5.3.2. Surface libre 05-04 5.3.3. Profil limite de la surface libre 05-06 5.4. Cinématique de la houle 05-06 5.4.1. Expression de la vitesse 05-06 5.4.2. Expression de l'accélération 05-06 Les ondes périodiques simples 01 - Introduction Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 01 - 3 / 3 5.5. Vecteur tourbillon 05-07 5.6. Energie de la houle 05-07 5.6.1. Energie potentielle de la houle 05-07 5.6.2. Energie cinétique de la houle 05-08 5.6.3. Energie totale de la houle 05-08 5.7. Domaine de validité 05-09 6. Les modèles de houle en faibles profondeurs 06-01 6.1. Le modèle de houle cnoïdale 06-01 6.2. Le modèle de vague solitaire 06-02 7. Les modèles numériques de houle 07-01 7.1 Hypothèses et définitions 07-01 7.2. Développement de la fonction de courant 07-01 7.3. Domaine de validité 07-02 8. Références 08-01 1. Introduction Le nom de vagues peut servir à désigner de nombreux phénomènes physiques de diverses origines (action du vent, tremblement de terre, explosion sous-marine, passage d'un navire, ...). Les seiches ou oscillations de longue période dans les ports, les barres des estuaires, les ondes de marée, les écoulements provenant de la rupture d'une digue ou d'un barrage sont aussi des vagues. En mer, les vagues engendrées par le vent présentent des formes complexes. Le milieux étant dispersif, des ondes longues rattrapent des ondes plus courtes et les dépassent. Elles ne se propagent pas toutes dans la même direction, se croisent, donnant à la mer cet aspect chaotique et changeant d'un instant à l'autre. Le vent ou la variation de la bathymétrie entraînent des déferlements, les vagues se brisant dans un bouillonnement d'écume blanche. Etant donné la grande diversité d'origine des vagues, il est certain qu'elles ne peuvent toutes être décrites par un même modèle mathématique, l'aspect de la mer étant fort différent de celui des houles sinusoïdales créées par un batteur dans un canal. La propagation de la houle a fait l'objet de très nombreux développements mathématiques. Les différentes théories qui ont été élaborées rendent compte avec plus ou moins de précision des divers aspects de la houle : forme de la surface libre, vitesse et accélérations, transport de masse, champ des pressions, … L'objectif de ce document n'est évidemment pas de décrire tous ces types de vagues en leur associant un ou plusieurs modèles mathématiques, mais, plus modestement, de donner une vision d'ensemble des houles simples et des méthodes utilisées pour les décrire ou les prévoir. Les ondes périodiques simples 02 - Les modèles de houle Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 03 - 1 / 4 2. Les modèles de houle 2.1. Différents modèles de houle La propagation des ondes périodiques simples a fait l'objet de très nombreux développements mathématiques. Les différentes théories qui ont été élaborées rendent compte avec plus ou moins de précision des divers aspects de la houle : forme de la surface libre, vitesses et accélérations, transport de masse, champ des pressions, ... Les hydrodynamiciens se sont intéressés à ces houles simples dans la mesure où il est possible, sinon aisé, d'étudier leurs propriétés à partir de modèles mathématiques (équations) ou physiques (canal à houle). Les houles simples se classent en cinq grandes catégories, qui sont caractérisées par les fonctions ou les méthodes mathématiques qui servent à les décrire. Elles correspondent à des approches mathématiques différentes d'une seule et même réalité physique dans la mesure ou des lames venant du large passent progressivement du stade de houle sinusoïdale à celui de la houle de Miche, puis à celui de la houle cnoïdale et de l'onde solitaire avant de déferler sur la côte. Les houles simples sinusoïdales dont les études ont été réalisées successivement par F.J. Gerstner /1802/, S.D. Poisson /1816/, G. Green /1839/, G.B. Airy /1845/, G.G. Stokes /1847/, W.J.M. Rankine /1863/, Lord Rayleigh /1876/, T. Levi-Civita /1925/, A.I. Nekrasov /1921/, D.J. Struik /1926/, Dubreuil-Jacotin /1934/, L. Skjelbreia et J.A. Hendrinkson /1961/. Les houles de Miche dont la découverte et l'étude théorique est due à R. Miche /1944/. Les houles cnoïdales qui empruntent leur nom aux fonctions trigonométriques elliptiques dont le cosinus est noté ``cn''. Elles ont été étudiées par J. Boussinesq /1891/, D.J. Korteweg et G. de Vries /1895/, G.H. Keulegan et G.W. Patterson /1940/, J.B. Keller /1948/, W. Littman /1957/, R.L. Wiegel /1960/, J.D. Fenton /1979/. Les ondes solitaires qui correspondent au cas limite des houles cnoïdales de périodes et de longueur d'onde infinies. Leur étude est due à J.S. Russel /1838/, J. Boussinesq /1872/, Lord Rayleight /1876/, J.M.A. Cowan /1891/, Weinstein /1926/, G.H. Keulegan et G.W. Patterson /1940/, R.A. Bagnold /1947/, G.H. Keulegan /1948/, W.H. Munk /1949/, Y. Iwasa /1955/, J.G. Housley et D.C. Taylor /1959/. Les modèles numériques de houles sont obtenus à partir de méthodes d'optimisation numérique. La plus connue d'entre elle est la fonction de courant. Les principaux travaux dans ce domaine sont dus à J.E. Chappelear /1961/ et R.G. Dean /1965/. Les ondes périodiques simples 02 - Les modèles de houle Jean Bougis - Ingénieur Conseil 06650 Opio Page 03 - 2 / 4 Il convient également de citer les travaux concernant la superposition de la houle et du courant, et en particulier ceux dus à A.J. Abdullah /1949/, P.D. Thompson /1949/, F. Biesel /1950/, J.C. Burns /1953/, J.N. Hunt /1955/, J. Wehausen /1965/, O.H. Shemdin /1972/, D. Fenton /1979/. 2.2. Paramètres de description de la houle Une houle simple, également appelée onde périodique simple, est la propagation, à vitesse constante, et sans altération de forme, d'un mouvement périodique spatial. Tous les modèles de houle sont définis à partir des mêmes paramètres explicités ci-après. La houle incidente, se propage en ligne droite dans la direction définie par l'angle β que font avec l'axe Ox les plans directeurs de l'écoulement (β=0 correspond à une houle se propageant suivant l'axe Ox). Les équations seront écrites dans le plan directeur O;r,z où r=xcosβ+ysinβ. La longueur d'onde λ de la houle est, par définition, la distance qui sépare deux crêtes ou deux creux consécutifs. La houle est périodique en temps et en espace, c'est à dire que pour un observateur immobile, le phénomène se reproduit à l'identique avec une période T ; ω désigne la pulsation du phénomène. T est l'intervalle de temps qui sépare le passage au même endroit de deux crêtes consécutives. la hauteur crête à creux H de la houle est la différence de niveau entre les crêtes et les creux de la houle. Elle est égale à deux fois l'amplitude a dans le cas d'une onde sinusoïdale. La vitesse de propagation, ou célérité, de l'onde est la vitesse à laquelle le mouvement périodique se propage sans altération de forme. la profondeur du fluide h qui sépare le fond de la position de la surface libre au repos. Dans l'étude des vagues, il est souvent plus fructueux d'utiliser des paramètres sans dimension définis ci-après. La cambrure εc de la houle est le rapport H/λ entre sa hauteur crête à creux H et sa longueur d'onde λ. La hauteur relative εH de la houle est le rapport H/h entre sa hauteur crête à creux H et la profondeur h. La longueur d'onde relative de la houle ελ est le rapport λ/h uploads/s3/ houles.pdf