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PCSI1-PCSI2 DNS n°05 à rendre le lundi 10 novembre 2008 2008-2009 Ce qui suit f

PCSI1-PCSI2 DNS n°05 à rendre le lundi 10 novembre 2008 2008-2009 Ce qui suit fera oﬃce de cours sur les notions d’injection/surjection/bijection. Les exercices obligatoires, à traiter en priorité sont les suivants : 1.4.1, 1.4.2, 1.4.5, 1.4.7 et 2.3.1 et 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4 et 3.2.1, 3.2.5, 3.2.6. Les autres exercices n’en sont pas moins intéressants pour autant, et doivent mériter votre attention. 1 Déﬁnitions de injection-surjection-bijection On considère une application f : A →B, où A est l’ensemble de départ (ensemble de déﬁnition de l’application) de f et B l’ensemble d’arrivée de f. Ainsi, pour tout x ∈A, f(x) existe (de manière unique !) et f(x) ∈B. On dit que f(x) est l’image de x par l’application f. Si y ∈B et s’il existe un élément x ∈A tel que y = f(x), on dit que x est un antécédent de y par f. 1.1 Injection On dit que f : A →B est une injection (application injective) si « deux éléments diﬀérents de A ont toujours des images diﬀérentes par f (dans B) ». Ceci se traduit par : f est injective si : « ∀(x, x′) ∈A2 : (x ̸= x′) ⇒(f(x) ̸= f(x′)) ». Une déﬁnition équivalente (obtenue par contraposition) est : « si deux éléments de A ont la même image alors, nécessairement, ils sont égaux », (ie) « ∀(x, x′) ∈A2 : (f(x) = f(x′)) ⇒(x = x′) ». Une application f : A →B est donc injective lorsque tout élément y de B possède au plus (0 ou 1) un antécédent x dans l’ensemble A (x tel que f(x) = y). Exemple : soit E un ensemble. On note idE l’application qui à tout x ∈E associe x, c’est à dire : ∀x ∈E, idE(x) = x. L’application idE est une injection, car si (x, x′) ∈E2, alors idE(x) = idE(x′) ⇒x = x′. Exemple : soit f : R →R, avec f(x) = x3. Pour (x, x′) ∈R2, si f(x) = f(x′), alors x3 −x′3 = 0, (ie) (x −x′)(x2 + xx′ + x′2) = 0, d’où x = x′ ou x2 + xx′ + x′2 = 0, cette dernière égalité entraînant x = x′ = 0 (pas évident...à vériﬁer !). Dans tous les cas, on a forcément x = x′. Donc f est injective. Méthode : 1. pour montrer qu’une application f : A →B est injective : on montre que, pour tous les couples (x, x′) d’éléments de A, l’hypothèse f(x) = f(x′) entraine nécessairement x = x′. 2. pour montrer qu’une application f : A →B n’est pas injective : il suﬃt de trouver deux éléments x et x′ distincts (x ̸= x′) qui ont la même image par f, (ie) vériﬁant f(x) = f(x′). 3. autre méthode : pour prouver que f est injective, on montre que, pour tout y ∈B, l’équation «f(x) = y», d’inconnue x, possède au plus (i.e 0 ou 1) solution x dans l’ensemble A. Remarque : soit I un intervalle de R et soit f : I →R. Si f est strictement croissante, alors f est injective. En eﬀet, si x et y sont deux éléments distincts de I, on a x < y ou bien y < x. Supposons –1/9– Lycée Faidherbe, Lille PCSI1-PCSI2 DNS n°05 à rendre le lundi 10 novembre 2008 2008-2009 que l’on ait x < y, alors, f étant strictement croissante, on a f(x) < f(y) et donc f(x) ̸= f(y). De même si y < x. De même, si f est strictement décroissante, alors f est injective. ATTENTION : il est clair que cette dernière remarque ne s’applique pas si on ne connait pas de relation d’ordre ≤sur A ou B (exemple : A = {élèves du lycée Faidherbe}, B = C, A = R3, etc..). 1.2 Surjection On dit que f : A →B est une surjection (application surjective) si « pour tout élément de B, il existe au moins un antécédent par f dans A ». Ceci se traduit par : f est surjective si : « ∀y ∈B, ∃x ∈A | y = f(x) ». Exemple : l’application idE introduite précédemment est une surjection de E dans E, car ∀y ∈E, y = idE(y), autrement dit : tout élément y de E admet au moins un antécédent : lui-même ! Exemple : soit f : [−2, +∞[ →[1, +∞[, avec f(x) = x2 + 1. Pour tout y ∈[1, +∞[ : on cherche s’il existe toujours au moins un x ∈[−2, +∞[ tel que y = f(x) = x2 + 1. Il est clair que x = √y −1 est une solution, qui existe car y ≥1, et qui appartient bien à l’ensemble de départ, car x ≥0 ≥−2. L’application f est donc bien surjective. On remarque que pour certains y (précisément ceux vériﬁant 1 < y ≤5), il existe même deux solutions x opposées, mais cela n’est pas gênant pour la surjectivité ("au moins un"). Par contre, cela entraîne que f n’est pas injective. Méthode : 1. pour montrer qu’une application f : A →B est surjective : pour tout élément y ∈B, on résout l’équation en x : «f(x) = y» et on prouve qu’il y toujours au moins une solution dans A (ne pas oublier de vériﬁer qu’une solution trouvée est bien dans A). 2. pour montrer qu’une application f : A →B n’est pas surjective : il suﬃt de trouver au moins un élément y dans B tel que l’équation y = f(x) n’a pas de solution en x, ou a des solutions mais qui n’appartiennent pas à l’ensemble A. 1.3 Bijection On dit que f : A →B est une bijection (application bijective) si f est, à la fois, injective et surjective, autrement si tout élément de B possède un (surjection) et un seul antécédent (injection) dans A par f. Ceci se traduit par f est bijective si : « ∀y ∈B, ∃!x ∈A | y = f(x) ». On parle aussi de correspondance bi-univoque : chaque élément de A est associé à un élément unique de B par f (l’image) et réciproquement (l’antécédent). Exemple : si E est un ensemble quelconque, l’application idE est une bijection de E dans lui-même. –2/9– Lycée Faidherbe, Lille PCSI1-PCSI2 DNS n°05 à rendre le lundi 10 novembre 2008 2008-2009 Exemple : soit f : [+2, +∞[ →] −∞, −1], avec f(x) = −2x + 3. Pout tout réel y ≤−1, l’équation y = −2x + 3 possède une unique solution x = −1 2 (y −3) et on montre sans problème que, sous la condition y ≤−1, la solution x trouvée vériﬁe x ≥+2. L’application f est donc bien bijective. Méthode : 1. pour montrer qu’une application f : A →B est bijective : soit on démontre successivement qu’elle est injective puis surjective, soit on résout, pour tout y ∈B, l’équation d’inconnue x, «y = f(x)». On montre alors qu’il y a toujours une et une seule solution x, puis on n’oublie pas de vériﬁer que cette solution x est bien dans A. 2. pour montrer qu’une application f : A →B n’est pas bijective : il suﬃt de prouver qu’elle n’est pas injective, ou qu’elle n’est pas surjective (se reporter aux méthodes précédentes). 1.4 Exercices 1. On pose f : A →B avec f(x) = x2. Préciser1 dans tous les cas suivants si f est injective, surjective, bijective. Présenter les résultats dans un tableau, et dans le cas où f n’est pas injective ou surjective, donner simplement un argument frappant. 1. A = R, B = R 2. A = R+, B = R 3. A = R, B = R+ 4. A = R+, B = R+ 5. A = R−, B = R+ 6. A = R−, B = R− 2. (a) On pose f :]0, +∞[→R+ avec f(x) = x + 1 x. Montrer que g n’est pas injective. (b) On pose g : [+1, +∞[→R+ avec g(x) = x + 1 x. Montrer que g est injective, mais pas surjective. 3. Soit l’ensemble A = C \ {1} et l’application f : A − → C z 7− → f(z) = z −1 1 −¯ z . (a) Montrer que, pour tout z ∈A, |f(z)| = 1 : f est-elle surjective ? (b) Résoudre l’équation f(z) = 1 : f est-elle injective ? (c) Soit a et b, deux complexes diﬀérents de 1. Trouver une condition géométrique simple portant sur les points A et B d’aﬃxes a et b pour que f(a) = f(b). On introduira I, le point d’aﬃxe 1. (d) Soit θ, un réel appartenant à [0, 2π[ : résoudre l’équation f(z) = eiθ. En déduire l’ensemble f(A) : ceci représente l’ensemble de toutes les images, par f, des éléments de A (i.e) f(A) = {f(z) | z ∈A} = {Z ∈C | ∃u ∈A, Z = f(u)}. 1Commencer par tracer la courbe représentative de f : R →R. –3/9– Lycée Faidherbe, Lille PCSI1-PCSI2 DNS n°05 à rendre le lundi 10 novembre 2008 2008-2009 4. uploads/s3/ injective-surjective-bijective.pdf