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 Vérifiez que vous disposez bien de la totalité des pages du sujet en début d’

 Vérifiez que vous disposez bien de la totalité des pages du sujet en début d’épreuve et signalez tout problème de reprographie le cas échéant. Année universitaire 2020-2021 SUJET UE MVA010 : bases de l’analyse mathématique Examen 1ème session du 28/01/2021 Responsable : NEYRA Durée : 2 heures Consignes Calculatrice autorisée Le seul document autorisé est une feuille A4 manuscrite recto/verso. Les téléphones mobiles et autres équipements communicants (exemple : PC, tablette, etc) doivent être éteints et rangés dans les sacs pendant toute la durée de l’épreuve. Sujet de 3 pages, celle-ci comprise.  Vérifiez que vous disposez bien de la totalité des pages du sujet en début d’épreuve et signalez tout problème de reprographie le cas échéant. Exercice 1 : Les questions sont indépendantes Soit la suite définie par et . Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : Donner l’ensemble de définition de la fonction. Calculer sa dérivée. Préciser sa limite en . Exercice 2 : Calculer les intégrales suivantes : 1) (on pourra, sans obligation, poser le changement de variable .) 2) (on pourra, sans obligation, poser un changement de variable.) 3) 4) (on pourra effectuer une intégration par partie) 5) (on pourra effectuer une intégration par partie) Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur ℝ par . 1) Donner le domaine de définition de 2) Etudier les limites aux bornes du domaine. 3) Montrer que 4) En déduire le tableau de variations de la fonction. 5) Dé m é ’ b v ’ x b v ’ x é 6) Donner une équation des tangentes T à la courbe C au point d'abscisse 0 et au point ’ b . .  Vérifiez que vous disposez bien de la totalité des pages du sujet en début d’épreuve et signalez tout problème de reprographie le cas échéant. Exercice 4 : m 1) Calculer les 4 premiers termes . 2) Pour tout entier naturel n, donner l’expression de en fonction de n. Exercice 5 : Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris. Le centre ouvre ses portes le 1 avril 2013 avec 115 oiseaux. Les spécialistes prévoient que 40 % des oiseaux présents dans le centre au 1 janvier d'une année restent présents le 1 janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année. On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1 janvier des années suivantes. La situation peut être modélisée par une suite admettant pour premier terme , le terme donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année 2013+ n. 1. a. Calculer et . Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? b. Donner, pour tout entier naturel, l'expression de en fonction de . On considère la suite définie pour tout entier naturel n par . 2. a. Montrer que est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser . b. Exprimer, pour tout entier naturel n, en fonction de n. c. En déduire que pour tout entier naturel , . d. La capacité d'accueil du centre est de 200 oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse. Chaque année, le centre touche une subvention de 20 euros par oiseau présent au 1 janvier. 3. Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1 janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. uploads/s3/ sujet-mva-010-2020-2021-session-1 1 .pdf