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Cryptographie et codes secrets Jeux et énigmes Carrés magiques Mathématiques au quotidien Dossiers Forum Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices de logique et de théorie des ensembles > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Applications : composition, injections, surjections, bijections Composition de fonctions Exercice 1 - Composition non commutative [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. Soient et les deux fonctions de dans définies par Calculer et . 2. Dans les exemples suivants, déterminer deux fonctions et telles que : Démarrer maintenant Commencez maintenant votre téléchargement rapide, sécurisé et légal Playweez Ouvrir f g R R f(x) = 3x + 1 et g(x) = x2 −1. f ∘g g ∘f u v h = u ∘v h1(x) = √3x −1 h2(x) = sin(x + ) h3(x) = . π 2 1 x + 7 Indication Corrigé 1. Soit . On a D'autre part, on a En particulier, on a . 2. Pour chacun des cas, on peut poser : 2.1. , ; 2.2. , ; 2.3. , . Exercice 2 - Composition itérée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit . Déterminer (où le symbole apparaît fois) en fonction de et de . Indication Corrigé Image directe, image réciproque Exercice 3 - Exemples d'image directe et d'image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. Soit , , et soit . Déterminer 1.1. l'image directe de par ; 1.2. l'image réciproque de par . 2. On considère la fonction . Quelle est l'image directe, par , de ? De ? de ? Quelle est l'image réciproque, par , de ? de ? de ? Indication Corrigé Fonctions injectives, surjectives, bijectives Exercice 4 - Quelques exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé x ∈R f ∘g(x) = f(x2 −1) = 3(x2 −1) + 1 = 3x2 −2. g ∘f(x) = g(3x + 1) = (3x + 1)2 −1 = 9x2 + 6x. f ∘g ≠g ∘f u(x) = √x v(x) = 3x −1 u(x) = sin x v(x) = x + π 2 u(x) = 1 x v(x) = x + 7 f(x) = x x+1 f ∘f ∘⋯∘f(x) f n n ∈N∗ x ∈R f : R →R x ↦x2 A = [−1, 4] A f A f sin : R →R sin R [0, 2π] [0, π/2] sin [0, 1] [3, 4] [1, 2] Les fonctions suivantes sont-elles injectives? surjectives? bijectives? Indication Corrigé est injective, non surjective (et donc non bijective) : 1 n'a pas d'antécédents. est bijective. n'est ni injective ( ), ni surjective ( n'a pas d'antécédents). et sont surjectives, mais non injectives. Exercice 5 - Encore des exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives? 1. . 2. . 3. . Indication Corrigé Exercice 6 - Avec des ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un ensemble. Pour une partie de , on note son complémentaire. La fonction , est-elle injective? surjective? Indication Corrigé Exercice 7 - Injective ou surjective [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé L'application est-elle injective? surjective? Indication Corrigé Exercice 8 - Composition et injectivité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient et les applications de dans définies par et f1 : Z →Z, n ↦2n, f2 : Z →Z, n ↦−n f3 : R →R, x ↦x2, f4 : R →R+, x ↦x2 f5 : C →C, z ↦z2. f1 f2 f3 f(−1) = f(1) = 1 −1 f4 f5 f : N →N, n ↦n + 1 g : Z →Z, n ↦n + 1 h : R2 →R2, (x, y) ↦(x + y, x −y) E A ∈P(E) E ¯ A ϕ : P(E) →P(E) A ↦¯ A f : R2 →R2, (x, y) ↦(x + y, xy) f g N N f(x) = 2x x Déterminer et . Les fonctions et sont-elles injectives? surjectives? bijectives? Indication Corrigé Exercice 9 - Une fonction homographique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit définie par . Démontrer que est bijective et déterminer sa bijection réciproque. Indication Corrigé Exercice 10 - Calcul de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Démontrer que la fonction définie par est bijective. Calculer sa bijection réciproque . Indication Corrigé Exercice 11 - Avec des nombres complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Démontrer que l'application est une bijection. Déterminer sa bijection réciproque. Indication Corrigé Exercice 12 - Un exemple avec des fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit définie par . g(x) = { si x est pair 0 si x est impair. x 2 g ∘f f ∘g f g g : [0; +∞[→[0; 1[ g(x) = x 1+x g f : R →R∗ + f(x) = ex + 2 e−x f −1 f : C∖{−3} → C∖{i} z ↦ iz−i z+3 f : R →R f(x) = 2x/(1 + x2) 1. est-elle injective? surjective? 2. Montrer que . 3. Montrer que la restriction , est une bijection. Indication 1. Calculer et . Montrer que n'a pas d'antécédent. 2. Résoudre l'équation . 3. Montrer qu'il n'y a qu'une solution! Corrigé 1. n'est pas injective, car . n'est pas surjective, car n'a pas d'antécédent : en effet, l'équation devient soit qui n'a pas de solutions dans . 2. L'équation est équivalent à l'équation . Cette équation a des solutions réelles si et seulement si , donc il y a des solutions si et seulement si . Ainsi, on a exactement . 3. Soit . Les solutions possibles de l'équation sont ou . La deuxième solution n'appartient pas à (elle est strictement supérieure à si , et strictement inférieure à si ). D'autre part, est dans . En effet, tandis que On en déduit que D'autre part, si , l'équation a pour unique solution tandis que si , l'équation a pour unique solution . Enfin, si , l'équation admet pour unique solution . Dans tous les cas, on a prouvé que pour tout , l'équation admet une unique solution avec . Nous avons bien prouvé que est une bijection. Bien sûr, une méthode d'analyse, en utilisant la continuité et la stricte monotonie de , serait plus facile! Exercice 13 - Homographie du cercle unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille f f(R) = [−1, 1] g : [−1, 1] →[−1, 1] g(x) = f(x) f(2) f(1/2) 2 f(x) = y f f(2) = f(1/2) = 4/5 f y = 2 f(x) = 2 2x = 2(1 + x2) x2 −x + 1 = 0 R f(x) = y yx2 −2x + y = 0 ∆= 4 −4y2 ≥0 y ∈[−1, 1] f(R) = [−1, 1] y ∈] −1, 1[∖{0} g(x) = y x = 1−√1−y2 y x = 1+√1−y2 y [−1, 1] 1 y > 0 −1 y < 0 x = = 1−√1−y2 y y 1+√1−y2 [−1, 1] 1 ≤1 + √1 −y2 ⟹0 < ≤1 1 1 + √1 −y2 −1 < y < 1. −1 ≤ ≤x ≤ ≤1. −1 1 + √1 −y2 1 1 + √1 −y2 y = 1 g(x) = 1 x = 1 y = −1 g(x) = −1 x = −1 y = 0 g(x) = 0 x = 0 y ∈[−1, 1] g(x) = y x ∈[−1, 1] g g d'exos] Enoncé Soit le cercle unité et soit . Démontrer que définit une bijection de sur lui-même et donner l'expression de . Indication Corrigé Exercice 14 - Une bijection de dans [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit , . Démontrer que est une bijection. En déduire une bijection de sur . Indication Corrigé Exercice 15 - Un exemple avec de l'arithmétique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit , . est-elle injective, surjective? Indication Corrigé Exercice 16 - Devinettes... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé 1. Déterminer une bijection de . 2. Déterminer une bijection de dans . 3. Déduire de la question précédente une bijection de dans . 4. Déterminer une bijection de Indication Corrigé 1. Posons , définie par . Remarquons est bien à image dans . Il reste à prouver que est bijective, ce qui est très facile avec la définition : si , on a , l'équation admet une unique solution dans , ce qui dit bien que est bijective. 2. Posons , définie par . Remarquons là aussi que l'ensemble d'arrivée est bien cohérent avec l'ensemble de départ. D'autre part, est bijective. 3. C'est uploads/s3/ exercices-corriges-applications-composition-injections-surjections-bijections.pdf