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TD2 électronique TSI2 Oscillateur quasi-sinusoïdal Exercice 1 : Oscillateur de

TD2 électronique TSI2 Oscillateur quasi-sinusoïdal Exercice 1 : Oscillateur de Wien On considère le montage ci-dessous. La chaîne directe (l’amplificateur) est constituée d’un circuit à A.L.I. et la chaîne de réaction par un pont de Wien (le filtre). Pour les calculs, nous supposerons que l’ensemble fonctionne en régime harmonique (utilisation de la notation complexe) et linéairement (pas de saturation avec un A.L.I supposé idéal). A) Etude théorique 1. Donner l’expression de la fonction de transfert ܣ= ௏ భ ௏ బ en fonction de R1 et R2 On applique un pont diviseur de tension : ݒା= ݒ଴= ݒି= ܴଵ ܴଵ+ ܴଶ ݒଵ Donc ܣ= ோభାோమ ோభ 2. Montrer que l’expression de la fonction de transfert ܤ(݆߱) = ௏ మ ௏ భ= ோ௝஼ఠ ଵାଷோ௝஼ఠା(ோ௝஼ఠ)మ On va poser : Avec : ܼଵ= 1 + ܴ݆ܥ߱ ݆ܥ߱ ܼଶ= ܴ 1 + ܴ݆ܥ߱ On applique alors un pont diviseur de tension : ܤ(݆߱) = ݒଶ ݒଵ = ܴ݆ܥ߱ 1 + 3ܴ݆ܥ߱+ (ܴ݆ܥ߱)ଶ 3. En déduire l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte ܶ(݆߱) = ௏ మ ௏ బ Il suffit de remarquer que : ܶ(݆߱) = ோభାோమ ோభ ோ௝஼ఠ ଵାଷோ௝஼ఠା(ோ௝஼ఠ)మ : 4. Rappeler la condition sur la fonction de transfert en boucle ouverte ܶ(݆߱) pour que le système soit le siège d’oscillations à la pulsation ߱௖. Il faut ܶ(݆߱௖) = 1 où ߱௖ est la pulsation d’oscillation 5. A partir de la relation précédente, en déduire que R2 = 2R1 pour avoir oscillation et que la pulsation d’oscillation est donnée par : ߱௖= ଵ ோ஼ On a vu dans le cours que l’expression de la pulsation d’oscillation était donnée par :ܫ݉ቀܶ(݆߱௖)ቁ= 0 et que la condition sur les valeurs des composants pour avoir oscillation était donnée par : ܴ݁ቀܶ(݆߱௖)ቁ= 1 Il faut don écrire la fonction de transfert en séparant partie réelle et partie imaginaire Ainsi, on obtient : ߱௖= ଵ ோ஼ et ܴଶ= 2ܴଵ B) Etude pratique Réaliser le montage suivant : 1. Fixer la condition R2 = 2R1. Observez-vous des oscillations à la sortie de l’AO et du filtre ? Pourquoi ? Aucune oscillation observable, en effet dans cette configuration l’AO ne peut amplifier et amorcer les oscillations. 2. Trouver la valeur de R2lim qui permet le début des oscillations. Comparer cette valeur à la valeur théorique. Conclusion. On doit fixer une valeur d’environ 21 kΩ pour observer des oscillations. En choisissant 2 1 2  R R on se place dans le cas où 1 3 1 * 1 1 2 1 3 1 * 1 2 1 ) (      R R R R R j T c  Dans cette configuration, le système est instable et amplifie le bruit conduisant alors à la saturation de l’AO. 3. Mesurer la fréquence de V2 et l’amplification ௏ మ೘ ௏ భ೘ à cette valeur de R2lim et comparer à vos résultats théoriques. TD2 électronique TSI2 On mesure une fréquence de l’ordre de 1590 Hz ce qui est tout à fait cohérent avec la théorie qui annonce une fréquence de 1591 Hz. On note également une amplification de l’ordre de 3 ce qui est tout à fait juste. 4. Augmenter la valeur de R2 de quelque kΩ. Qu’observez- vous pour V1 et V2. Pourquoi leurs distorsions (déformations) sont-elles différentes ? Si la valeur de R2 reste raisonnable, on observe une tension V2 qui reste « quasi sinusoïdale », en revanche V1 est écrêtée de manière significative ! Le choix 2 1 2  R R conduit à la saturation de l’AO ce qui explique l’allure de V2 en revanche après l’AO il y a un filtre qui va, en partie, éliminer les harmoniques apparues. En revanche, si R2 est relativement supérieure à R1 alors le filtre ne peut totalement éliminer la distorsion et la tension V2 sera elle aussi déformée. 5. On va étudier la pureté spectrale de la tension V2 en analysant sa FFT donnée par l’oscilloscope numérique. Analyser les cas où R2 = 23 kΩ et R2 = 30 kΩ. R2 =23kΩ R2 =30kΩ On retrouve l’idée générale développée précédemment : la distorsion augmente si l’on s’éloigne de la condition théorique d’oscillation. Exercice 2 : Oscillateur à résistance négative On peut réaliser un oscillateur à partir d’un circuit résonant série en compensant les pertes Joule de ce circuit à l’aide d’une « résistance négative ». On va considérer l’AO en régime linéaire au cours de son fonctionnement. L’AO est également supposé idéal. 1) Montrer que l’impédance d’entrée de l’amplificateur se comporte comme une résistance négative c’est-à-dire que ܸ ா= −ܴ݅. En supposant le fonctionnement linéaire alors : ݒା= ݒି Avec :ܸ ா= ோ௏ ೞ ோబାோ et ܸ ா−ܸ ௦= ܸ ாቀ1 − ோబାோ ோቁ= −ܸ ா ோబ ோ= ܴ଴݅ soit ܸ ா= −ܴ݅ 2) Avec une analyse temporelle, trouver la condition liant r et R pour que ce circuit soit susceptible de délivrer spontanément une tension sinusoïdale ? Quelle est alors la fréquence ݂ ଴ des oscillations délivrées par ce circuit ? ݑ௖+ ݎ݅+ ܮ݀݅ ݀ݐ= ܴ݅ Soit : ݑ௖+ (ݎ−ܴ)ܥ݀ݑ௖ ݀ݐ+ ܮ݀ଶݑ௖ ݀ݐଶ= 0 On obtient un système harmonique si ݎ= ܴ et ݂ ଴= ଵ ଶగ√௅஼ 3) Montrer que ce circuit peut être redessiné en faisant apparaître une chaîne directe active et une chaîne de réaction passive. Les éléments C, r et L peuvent être regroupés en une impédance complexe Z. On peut effectivement retrouver une modélisation d’un système asservi TD2 électronique TSI2 Avec ܣ= ோ ோబାோ et avec Millman ܸ ா= ೇೞ ೃబ భ ೋାభ ೃబ et donc ௏ೄ ௏ಶ= ௓ାோబ ௓ 4) Retrouver les résultats de la question 2 en utilisant la condition de Barkhausen. La fonction de transfert en boucle ouverte alors donnée par : ࢆାࡾ૙ ࢆ ࡾ ࡾ૙ାࡾ et sa partie imaginaire est bien nulle si ࢌ૙= ૚ ૛࣊√ࡸ࡯ et si ࢘ାࡾ૙ ࢘ ࡾ ࡾ૙ାࡾ= ૚ soit (ࡾ૙+ ࡾ)࢘= (࢘+ ࡾ૙)ࡾ soit ࢘= ࡾ Oscillateur de relaxation Exercice 3 : Oscillateur de relaxation L’amplificateur opérationnel — supposé idéal — fonctionne ici en régime non-linéaire. Théorie et expérience montrent que le montage oscille après un court régime transitoire. On choisit expérimentalement : - ܴଵ= ܴଶ= 22݇Ω - ܥ= 0,22µܨ - ܴ≈10݇Ω On obtient l’oscillogramme suivant (en jaune ݒ௦(ݐ) et en bleu ݒ௖(ݐ)) 1) Expliquer qualitativement le comportement de ݒ௖(ݐ) et ݒ௦(ݐ). 2) Obtenir l’expression de la période ܶ d’oscillation. 3) Calculer ܶ et comparer à la valeur expérimentale. Supposons ݒ௦= ݒ௦௔௧ : Avec un PDT, on a : ݒା= ோభ ோభାோమܸ ௦௔௧ ݑ௖(ݐ) + ܴܥ݀ݑ௖(ݐ) ݀ݐ = ܸ ௦௔௧ Soit : ݀ݑ௖(ݐ) ݀ݐ + ݑ௖(ݐ) ߬ = ܸ ௦௔௧ ߬ ݑ௖(ݐ) = ܣ݁ି௧ ఛ+ ܸ ௦௔௧ Avec la condition initiale : ݑ௖(ݐ) = (ܸ ஼(0) −ܸ ௦௔௧)݁ି௧ ఛ+ ܸ ௦௔௧ Ici ݒି= ݑ௖(ݐ) et le basculement se produit lorsque le condensateur dépasse ݒା c’est-à-dire si : (ܸ ஼(0) −ܸ ௦௔௧)݁ି௧ ఛ+ ܸ ௦௔௧> ܴଵ ܴଵ+ ܴଶ ܸ ௦௔௧ Cette tension constitue donc la valeur de la tension au début d’une nouvelle charge donc ܸ ஼(0) = − ோభ ோభାோమܸ ௦௔௧. Pendant une demi-période, on a : ݑ௖(ݐ) = ቀ− ோభ ோభାோమܸ ௦௔௧−ܸ ௦௔௧ቁ݁ି೟ ഓ+ ܸ ௦௔௧ Et donc : ݑ௖ቀ ் ଶቁ= ቀ− ோభ ோభାோమܸ ௦௔௧−ܸ ௦௔௧ቁ݁ି೅ మഓ+ ܸ ௦௔௧= ோభ ோభାோమܸ ௦௔௧ Soit : ܶ= 2߬ln ቀ ଶோభାோమ ோమ ቁ On peut donc fixer la péride avec ܴ : ici ܶ≈5݉ݏ uploads/s3/ td2-corrige 2 .pdf